Une simple question

jelobreuil
Modifié (5 Feb) dans Géométrie
Bonjour à tous,
Une simple question. Dans un triangle $ABC$, quel est le point qui est le centre de gravité de son propre triangle circumcévien ? Merci !
Bien cordialement, JLB


Réponses

  • pappus
    Modifié (5 Feb)
    Mon cher jelobreil
    On a dû en parler ici même dans le passé: Il s'agit de résoudre l'équation en complexes:
    $$\dfrac 1{z-a}+\dfrac 1{z-b}+\dfrac 1{z-c}=0$$
    où $z$ est l'affixe de $p$.
    Bon courage!
    Amicalement
    pappus
  • Merci, Pappus
    Je trouve l'expression suivante pour $z$ :
    Il y a donc deux tels points, apparemment ?
    Amitiés, JLB
  • Mon cher JLB
    Comme je l'ai dit souvent, il y a les calculs et il y a la figure!
    Et c'est la figure qui intéresse les géomètres, pas les calculs!
    La figure, la voici ci-dessous avec une petite pensée pour Poubot qui nous a décrit en détail la construction des points $G'$ et $G''$.
    Amicalement
    pappus

  • Bonjour pappus et jelobreuil,
    Il s'agit du théorème de Marden-Siebeck.
    Soient $F_1$ et $F_2$ les images des deux solutions $z_1$ et $z_2$ de l'équation proposée. $F_1$ et $F_2$ sont isogonaux. Comme leur milieu est le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$, alors ce sont les foyers de l'ellipse de Steiner inscrite.
    Amicalement
  • Merci Bouzar
    C'est exactement la façon dont j'ai construit les points $G'$ et $G''$.
    J'ai même tracé l'ellipse de Steiner!
    Amitiés
    pappus
  • jelobreuil
    Modifié (5 Feb)
    Merci beaucoup, Bouzar et Pappus,
    Pendant que vous écriviez vos messages, je reprenais ma figure en cherchant cette fois deux points, lesquels, une fois trouvés ("à la souris"), m'avaient bien l'air d'être isogonaux, ce que j'ai pris le temps de vérifier ...

    Mais bien évidemment, j'ignorais leur nature de foyers d'une ellipse ... Maintenant, je le saurais !
    Par ailleurs, Pappus, je suis bien d'accord avec toi, c'est la figure qui importe !
    Amitiés, JLB
  • Bonsoir,
    Si je ne me trompe pas, il s'agit ici d'une construction : celle de deux points isogonaux dont on connait le milieu.
    Il y a bien sûr la construction du désormais regretté Poulbot.
    Il y en a une autre (un peu alambiquée) qu'il faut que je retrouve et que je posterai si mes recherches le permettent.
    Amicalement.
  • cailloux
    Modifié (5 Feb)
    La voici (à justifier éventuellement) :
    En l’occurrence, le point donné est $G$ centre de gravité du triangle $ABC$ ($I,J,K$ sont les milieux des côtés).
    - $T$ est l'isogonal de $G$.
    - $A'$ est le second point d'intersection du cercle $AJK$ et de la droite $(AT)$
    - La médiatrice de $[AA']$ coupe la perpendiculaire en $G$ à la bissectrice de $(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GA'})$ en $\Omega$
    - Le cercle de centre $\Omega$ passant par $A$ et $A'$ recoupe la première bissectrice précédente en $F$ et $F'$ foyers de l'ellipse de Steiner inscrite (et isogonaux de milieu $G$).
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