Familles versus collections

AlainLyon
Modifié (5 Feb) dans Fondements et Logique
Dans les différentes théories des ensembles peut on remplacer famille par collection, ou collection par famille à chaque occurence de ces mots? Ainsi Wikiwand à la page https://www.wikiwand.com/fr/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del?wprov=srpw1_0d
définit l'axiome du choix par l'usage de la notion de famille d'ensembles et non de collection et écrit
Pour toute famille d’ensembles non vides disjoints deux à deux, il existe un ensemble contenant un élément et un seul de chaque ensemble de la famille.
Ma deuxième question est la suivante : peut-on déduire la proposition la théorie NBG est consistante de la proposition la théorie ZFC est consistante?
Ma troisième question est la suivante : peut-on déduire la proposition la théorie ZFC est consistante de la proposition la théorie NBG est consistante?
:smile:
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré

Réponses

  • NBG et ZFC sont iso-consistantes.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Martial
    Modifié (5 Feb)
    @AlainLyon : 1) Non, tu ne peux pas remplacer famille par collection dans l'énoncé de l'axiome du choix. Une famille est un ENSEMBLE, plus précisément une fonction définie sur un ensemble $I$ et à valeurs dans l'univers, tandis qu'une collection peut être une classe propre.
    Si tu écris AC sous la forme "toute collection d'ensembles non vides admet une fonction de choix", tu obtiens un énoncé beaucoup plus fort.
    2) et 3) C'est comme a dit @Médiat_Suprème : il est à peu près évident que si tu prends NBG comme théorie de base, tous les axiomes de ZFC sont vrais, donc Cons(NBG) $\Rightarrow$ Cons(ZFC). Dans l'autre sens c'est un peu plus délicat, mais on peut démontrer que tout énoncé concernant uniquement les ensembles qui est prouvable dans NBG l'est aussi dans ZFC. En d'autres termes, NBG est une extension conservative de ZFC. En particulier, Cons(ZFC) $\Rightarrow$ Cons(NBG).
  • AlainLyon va bientôt nous bassiner avec le fait qu'il a montré que NBG est non consistante, bravo...
  • Hello.
    Citer Wikiwand au lieu de Wikipedia, c'est comme si au lieu de Molière, Balzac ou Guy des Cars on donnait le nom du centre commercial néonisé où se trouve l'hypermarché dans les rayons duquel on a été feuilleter quelques pages entre divers achats de dentifrice et cassoulet.
    Il faut veiller aux sources et rendre à César etc.

  • C'est quoi la différence entre un ensemble, un n-uplet et une famille ? Dans l'ensemble, l'ordre des éléments ne compte pas ; dans le n-uplet, si !
  • NB:
    NBG + l'axiome du choix global (i.e. l'énoncé "V est bien ordonnable", qui est exprimable dans le langage d'une telle théorie, mais pas directement sous cette forme dans le langage de ZF cependant) est une extension conservative de ZFC.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Poirot : "AlainLyon va bientôt nous bassiner avec le fait qu'il a montré que NBG est non consistante, bravo..."
    MDR. Je le sais pertinemment, mais comme je connaissais la réponse à toutes les questions je n'ai pas pu m'empêcher de semer mon grain de sel. Ça servira peut-être à des personnes de passage qui croient "naïvement" que NBG est consistante.
    @Sato : MDR. Ce qui me plaît le plus dans l'histoire c'est le coup du cassoulet.
    @Foys : dans ma tête je mettais déjà l'axiome du choix global dans les axiomes de la théorie NBG. Je ne sais pas si je suis en adéquation avec la terminologie "académique", mais de toutes façons c'est un détail.
  • Martial
    Modifié (6 Feb)
    Dans mon post précédent je me référais implicitement à la version de NBG avec schéma de compréhension prédicatif et axiome de limitation fort : une classe est en bijection avec l'univers ssi elle est propre.
    Si on prend seulement la version : "si une classe est en bijection avec l'univers, alors elle est propre", on obtient une version plus faible, dans laquelle en général ACglobal est faux. (Je ne sais plus si AC classique reste vrai, mais c'est expliqué dans mon chap 26, pas le temps de vérifier).
  • Guego
    Modifié (6 Feb)
    Sato a dit :
    Citer Wikiwand au lieu de Wikipedia, c'est comme si au lieu de Molière, Balzac ou Guy des Cars on donnait le nom du centre commercial néonisé où se trouve l'hypermarché dans les rayons duquel on a été feuilleter quelques pages entre divers achats de dentifrice et cassoulet.
    Il faut veiller aux sources et rendre à César etc.
    Wikiwand n'est qu'une interface, qui ne fait qu'afficher le contenu de Wikipedia avec une présentation différente. Citer Wikiwand au lieu de Wikipedia, c'est citer Molière au lieu de citer Molière.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.