Perturbation de la suite de Fibonacci

michal
Modifié (4 Feb) dans Analyse
Bonjour, 

Soient $(a_n)_{\geqslant 0}$ et $(b_n)_{\geqslant 0}$ deux suites réelles de limite 1 et $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite réelle strictement positive vérifiant :
$$\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+2}=a_{n}u_{n+1}+ b_{n}u_{n}$$
Est-ce que ça vous paraît plausible que la suite $(u_n)$ se comporte comme la suite de Fibonacci, à savoir qu'il existe une constante strictement positive $K$ telle que  $u_n\sim K \Phi^n$ où $\Phi$ est le nombre d'or ? 
Si oui, comment le montrer ? 
Merci d'avance pour vos réponses, 
Michal

Réponses

  • Boécien
    Modifié (4 Feb)
    Je ne pense pas que ce soit toujours vrai. 
    Si $a_n=n/(n+1)$ et $b_n=1$ il semble que $u_n\Phi^{-n}$ tend vers zéro et que $u_n\Phi^{-n}=O(n^c)$ avec $c=-0.4...$
    Si $a_n=1+1/n$ et $b_n=1$ il semble que $u_n\Phi^{-n}$ tend vers l'infini et que $u_n\Phi^{-n}=O(n^c)$ avec $c=+0.3...$
    Ce qui est plus plausible c'est $\log u_n / n$ tend vers $\log \Phi$.
  • etanche
    Modifié (4 Feb)
    $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ converge aussi voir le n91 https://www.rms-math.com/exos-etoiles-2023-site.pdf
  • etanche
    Modifié (6 Feb)
    @ Boécien peux-tu poster les démonstrations de tes affirmations (si possible). Merci.
  • Titi le curieux
    Modifié (7 Feb)
    Bonjour
    Voici les lignes directrices d'une démonstration qui fonctionne probablement (je n'ai fait aucun détail).
      On notera $v$ la suite définie par $v_n = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ notons que $v_{n+1 } = a_n + \frac{b_n}{v_n}$
      On notera $f_{a,b}, (a,b) \in\left( \mathbb{R}^*_+\right) ^2$ la fonction définie par $\forall x\in \mathbb{R}^*_+ , f_{a,b}(x) = a + \frac{b}{x}$. Donc les conventions deviennent $v_{n+1} = f_{a_n, b_n} (u_n)$
    Tout repose sur la propriété suivante:
    [ début conjecture]
       Soit $\epsilon$ un réel positif suffisamment petit (disons inférieur à 1/2, mais là, je prends un risque, il faut que $\epsilon$ soit suffisamment petit pour que les points fixes $\alpha$ et $\beta$ soient uniques sur $\mathbb{R}^+$ ) $a$ et $b$ deux suites de réels telles que $\forall n\in \mathbb{N},\ (a_n, b_n) \in [1-\epsilon,1+\epsilon]^2$, $v$ une suite de réels strictement positifs vérifiant $\forall n \in \mathbb{N},\ v_{n+1} = f_{a_n,b_n}(u_n)$.
      Notons $\alpha$ le point fixe de la fonction $g_\alpha = f_{1-\epsilon, 1-\epsilon} \circ f_{1+\epsilon, 1+\epsilon}$ et $\beta$ le point fixe de la fonction $g_\beta = f_{1+\epsilon,1+\epsilon} \circ f_{1-\epsilon, 1-\epsilon}$ (je crois qu'ils se calculent formellement, les équations ont des tronches à être équivalentes à des équations de degré deux).
    La suite $d([\alpha,\beta], v_n)$ converge vers $0$ ($d$ dans le sens distance).
    [Fin conjecture]
    L'idée de la conjecture m'est venue en me disant qu'on ne pouvait pas faire pire que d'alterner $f_{1-\epsilon, 1-\epsilon}$ et $f_{1+\epsilon,1+\epsilon}$, on pourra probablement définir rigoureusement ce que signifie "pire" par une fonction "distance modifiée" à $[\alpha,\beta]$ qu'on notera $h$ et définie par $\forall x\in ]0, \alpha],\ h(x) = f_{1+\epsilon, 1+\epsilon}(x) - \beta$, $\ \forall x\in [\alpha, \beta],\ h(x) = 0$ et $\forall x\geq \beta,\ h(x) = x-\beta$.
    Par ailleurs il faut montrer que toutes suites de réels strictement positifs $w$ vérifiant $w_{n+1} = g_\beta (w_n)$ converge vers $\beta$ (il est possible que la fonction $g_\beta$ soit contractante, sinon, vérifier qu'elle l'est sur tout fermés de $\mathbb{R}^*_+$ ne contenant pas $\beta$ ou un truc dans le genre).
      Une fois que la conjecture est proprement démontrée, il faut vérifier que $\alpha(\epsilon) $ et $\beta(\epsilon) $ sont continues en $0$ et $\alpha(0) = \beta(0) = \phi$ ce qui permet de conclure.
  • Boécien
    Modifié (10 Feb)
    Si on prend le cas "simple" $$u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)u_{n-1}+u_{n-2}$$ Alors je pense que $$u_{n}\sim C(u_{0},u_{1})F_{n}n^{\frac{\sqrt{5}}{5}}\ \left(n\rightarrow\infty\right),$$ où $F_n$ est le $n$-ième nombre de Fibonacci. Quelques évaluations de $C(u_{0},u_{1})$ pour différentes valeurs de $\left(u_{0},u_{1}\right) $
    • $C(0,1)=0.84704$
    • $C(1,1)=1.26418$
    • $C(1,2)=2.11123$
    J'avais pensé à approcher la récurrence par une équation différentielle mais Wolfy retourne des monstruosités. Mais plus généralement si pour $\lambda$ réel on considère  $$u_{n}=\left(1+\frac{\lambda}{n}\right)u_{n-1}+u_{n-2}$$ alors il semble que $$u_{n}\sim C(u_{0},u_{1})F_{n}n^{\lambda\frac{\sqrt{5}}{5}}\ \left(n\rightarrow\infty\right).$$ Cela mérite une preuve !
  • Boécien
    Modifié (10 Feb)
    Pour l'autre cas avec $\mu$ réel $$u_{n}=u_{n-1}+\left(1+\frac{\mu}{n}\right)u_{n-2}.$$ Je pense que $$u_{n}\sim C(u_{0},u_{1})F_{n}n^{\tfrac{\mu}{\Phi\sqrt{5}}},\qquad \left(n\rightarrow\infty\right)$$
  • Boécien
    Modifié (10 Feb)
    Il n'y a qu'un pas à franchir pour poser le problème suivant. Soit $\lambda,\mu$ deux réels et la récurrence $$u_{n}=\left(1+\frac{\lambda}{n}\right)u_{n-1}+\left(1+\frac{\mu}{n}\right)u_{n-2}$$ Montrer que $$u_{n}\sim CF_{n}n^{\left(\frac{\lambda\sqrt{5}}{5}+\frac{\mu}{\Phi\sqrt{5}}\right)}\ \left(n\rightarrow\infty\right)$$ On peut donc imaginer que si $$u_{n}=\left(1+\varepsilon_{n}\right)u_{n-1}+\left(1-\Phi\varepsilon_{n}\right)u_{n-2},$$ où $\varepsilon_{n}$  est une suite tendant vers zéro on a $$u_{n}\sim K.\Phi^{n}\ \left(n\rightarrow\infty\right).$$
  • Titi le curieux
    Modifié (10 Feb)
    Salut
      J'avoue qu'en lisant l'énoncé proposé par étanche, j'ai oublié la question initiale, je me suis contenté de proposer une démonstration pour la limite de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ égale à $\phi$.
    Béotien a raison, il y a même des chances pour que pour n'importe quelle suite de type $\phi^n c_n$ avec avec $c$ suite de réels strictement positif et $\dfrac{c_{n+1}}{c_n}$ ayant pour limite 1 on puisse trouver un couple de suites $a$ et $b$ qui convienne.
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