Agrégation interne - sujet 1 - partie III

LeVioloniste

OShine

Merci, il me reste que deux questions dans la partie II. Je devrais commencer cette partie demain. 

biguine_equation

Je fais vite fait les questions de cours. 

14a. Justifier l’existence de $F’$ revient à trouver une projection $p: \: E \longrightarrow F$ dont l’image est $F$ et le noyau, $\ker(p)$, est stable par tous les éléments de $G$.

14c.
$E  \cong F’ \bigoplus F$. Soit $x \in F$. La projection $p: E \longrightarrow F$ envoie $v=u+x \in E$ sur $p(v)=x$. Elle vérifie également $q(v) \in F, \: v \in E$.
On a
\begin{equation}
\displaystyle q(x)=\frac{1}{\vert G \vert} \sum_{g \in G} \theta(g) \circ p \circ \theta(g^{-1})(x)
\end{equation}
$\theta(g^{-1})$ va de $E$ vers $E$. En tant que sous-représentation, $F \subset E$ est $G$-stable pour tous les éléments de $G: \: \theta(g)F \subset F$. Donc pour $x \in F$, $\theta(g^{-1})(x) \in F$ et la projection $p$ envoie $x$ sur $x$:\begin{equation}
\displaystyle q(x)=\frac{1}{\vert G \vert} \sum_{g \in G} \theta(g) \circ \theta(g^{-1})(x) \\
= \frac{1}{\vert G \vert} \sum_{g \in G} \theta(g g^{-1})(x) \\
=\frac{1}{\vert G \vert}  \sum_{g \in G} x=x
\end{equation}

OShine

Pas compris ta solution à 14a. Il y a beaucoup plus simple. 

14.a) $E$ est de dimension finie, donc $F$ aussi. Notons $p= \dim F$.
Soit $(e_1, \cdots, e_p)$ une base de $F$. C'est donc une famille libre.
On la complète en un base $e$ de la forme $e=(e_1, \cdots, e_p,e_{p+1}, \cdots, e_n)$ et $F'=Vect(e_{p+1}, \cdots, e_n)$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$.

OShine

La 14.c est facile je trouve comme toi @biguine_equation

14.c) On sait que $\forall x \in F \ p(x)=x$. 
Soit $x \in F$.
Si $g \in G$ alors $g^{-1} \in G$ et $\theta(g^{-1}) (x) \in F$. Donc $p \circ \theta(g^{-1}) (x) = \theta( g^{-1} )(x)$.
Puis $\theta(g) \circ p \circ \theta(g^{-1}) (x) =\theta(g) \circ \theta(g^{-1} )(x)=\theta (gg^{-1}) (x)=x$.
Donc $q(x)=\dfrac{1}{|G|} \displaystyle\sum_{g \in G} x= x$.

On a montré : $\boxed{\forall x \in F \ q(x)=x}$.

Bon je vais dormir.

biguine_equation

14d. $Imq=F$.
Soit $v \in E$. On doit montrer
$\displaystyle q(v)=\frac{1}{\vert G \vert} \sum_{g \in G} \theta(g) \circ p \circ \theta(g^{-1})(v) \in F$

$F$ étant invariant par $\theta$ (i.e $\theta(g)F \subset F$), on a

$E \xrightarrow{\theta(g^{-1})} E \xrightarrow{p} F \xrightarrow{\theta(g)} F$.

OShine

Oui c'est le même argument que précédemment avec l'invariance. 

14.d) Pour l'autre inclusion, soit $y \in F$. Alors d'après la question précédente, $y=q(y)$ donc $y \in Im(q)$.
On a bien montré que $F \subset Im(q)$.

Il reste à montrer que : $q \circ q=q$. Je ferai le calcul plus tard, il n'est pas trivial.
On a $q \circ q= \dfrac{1}{|G|^2} \displaystyle\sum_{g \in G} \displaystyle\sum_{h \in G} \theta(g) \circ p \circ \theta(g^{-1} h) \circ p \circ \theta(h^{-1})$

biguine_equation

Je ferai demain une rédaction plus soignée de la 14a (mais ça reste du cours). Là, il est 4h00 du mat’, je fatigue.

Une remarque en passant: étant donnée la projection $p$, on pourrait se contenter d’écrire $E=\ker(p) + F$ où $\ker(p)$ est, sauf erreur, un $k$-espace vectoriel complémentaire de $F$. Le problème est qu’on veut écrire $E$ comme somme directe de sous-représentations. D’où l’idée d’introduire la projection $q: E \longrightarrow F$ qui a l’agréable propriété d’être stable par $G$.
Comme $q$ est une projection, on peut écrire
\begin{equation}
E \cong \ker(q) \bigoplus Im (q)
\end{equation}
Mais l’image de $q$ est $F$ (qui est déjà un sous-espace invariant de $\theta$). La projection $q$ étant stable par $G$, il s’ensuit que son noyau, $\ker (q)$, est invariant par $\theta$; c’est-à-dire que si $v \in \ker (q)$ et $g \in G$, alors $\theta(g)(v) \in \ker (q)$. On peut donc prendre $F’=\ker (q)$ comme supplémentaire stable de $F$ et non plus comme « simple » sous-espace. Depuis que je m intéresse aux représentations de groupes, c’est ce que j’ai retenu de la philosophie du théorème de Maschke.
Enfin, il y a un risque de confusion avec le vocabulaire puisqu’une représentation désigne à la fois une action linéaire de groupes et l’espace sur lequel ce groupe opère.

biguine_equation

Je me suis replongé dans un cours d’algèbre et je vois qu’on peut sortir un peu des sentiers battus en proposant une interprétation matricielle du théorème de Maschke. 

OShine

@NicoLeProf
Je continue ici.

OShine

Je bloque sur la 14.d, je n'arrive pas à montrer que $q \circ q=q$.

NicoLeProf

C'est évident en réalité : soit $x \in E$, alors $q(x) \in Im(q)$ et $Im(q)=F$ donc?

OShine

Je me complique la vie pour rien parfois, merci.
14.d) Soit $x \in E$. Alors $q(x) \in Im(q)=F$. Donc $q(x) \in F$. Ainsi, $q \circ q(x)=q(x)$.
On a montré $q \circ q =q$ et $q$ est un projecteur.

J'ai réussi 14.e et 14.f j'écris ma solution tout à l'heure.

OShine

14.e) Cela découle directement de la question 14.b.i car $p : E \longrightarrow E$ est une application linéaire.

14.f) D'après 12.a, $\ker(q)$ est un sous-espace invariant de $\theta$. 
Montrons que $E=F \oplus \ker(q)$, avec $F=Im(q)$.

• $E=F+\ker(q)$. En effet, si $x \in E$, on peut écrire $x=q(x)+(x-q(x))$ avec $q(x) \in F$ et $x-q(x)  \in \ker(q)$.
• $F \cap \ker(q)= \{ 0\}$. Soit $x \in F \cap \ker(q)$. Alors il existe $y \in E$ tel que $x=q(y)$. Donc $q(x)=q^2(y)=0$. Mais $q^2(y)=q(y)=x=0$.
  

OShine

La question $15$ : les fameuses applications linéaires en dimension $1$ qui m'ont tant posé de problème. 

bd2017

@Oshine il me semble qu'il y a une erreur de référence dans ta réponse à 14.

14. f Je n'ai pas envie de lire. Depuis 2 ou 3 jours, je  fais   la remarque régulièrement.  

Quand on fait un sujet d'agrégation, on possède un minimum de prérequis. On ne s'amuse pas à redémontrer   ces prérequis.... Une projection, on connait ...

Donc au minimum, il y a de la longueur inutile dans ta réponse.  

OShine

@bd2017
C'est un résultat de cours sur les projections oui mais l'énoncé est étrange pourquoi il demande de démontrer des résultats aussi élémentaires dans un sujet sur les représentations de linéaires de groupe ?

OShine

Je bloque sur la question $15$. 

biguine_equation

OShine: je ne peux que répéter une réponse faite sur MathStack: un espace vectoriel de dimension $1$ ne possède pas de sous-espace propre non-nul. Le truc marrant, c’est que cette question a été jugée « triviale «  😉

bd2017

@Oshine le sujet est assez décortiqué et la conséquence est qu'il y a automatiquement des questions simples. 

Maintenant, sauf erreur de ma part (car je survole l'ensemble malgré tout),  dans cette question tu as  une projection sur un s-e-v- et //ment  à un autre. Il m'a semblé que tu (re)-démontres que le noyau et l'image de cette projection forment une somme directe.

Ceci est bien connu. On ne demande pas de le démontrer. On ne redémontre pas tout. On ne le fait que si la demande est  explicite. 

Si la question est simple alors la réponse, c'est une phrase point  barre.

Je ne pense pas que le correcteur va te mettre des points de plus pour ce que tu as fait.

Quelque part tu te pénalises par une perte de temps au détriment d'autres questions.

On trouve des questions avec des petits calculs, ici et là. Une erreur de calculs peut pénaliser la suite du sujet... Quelques questions demandent parfois plusieurs mn pour trouver...Il faut faire des économies de temps..

Attention tout ce je dis peut être soumis à la critique. Mais je donne mon point de vue sur l'efficacité de traiter un problème d'agreg interne.

JLapin

un espace vectoriel de dimension 1 ne possède pas de sous-espace propre non-nul.

C'est une traduction littérale de "proper subspace" qui signifie en réalité "sous-espace vectoriel strict".

Je préfère préciser pour les lecteurs qui ne seraient pas très familiers de cette terminologie (qui n'a donc pas grand chose à voir avec la notion classique de sous-espace propre).

OShine

@bd2017
Ok je suivrai tes conseils. 

Une application linéaire dans un espace de dimension $1$ est une homothétie.
Donc il existe $\lambda \in \C$ tel que $f=\lambda id_E$.
$\ker (f- \lambda id_E)= E$.
La question 12 dit que les sous-espaces propres sont des invariants, mais ici on veut montrer que les seuls invariants sont $E$ et $\{0 \}$.
Donc je ne vois pas comment faire.

Etienne91

Peux-tu lister les sous-espaces vectoriels de $E$ quand $\dim (E)=1$ ?

NicoLeProf

Enfin OShine, pourquoi ce blocage à la 15? Elle est archi triviale comme tout le reste (c'est quoi ce sujet wtf? )

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ invariant de $\theta$. Alors $F$ est de dimension combien ou combien sachant que $\dim E=1$. Donc???

OShine

@Etienne91 très bien vu. 
Q15) Il me semble que les sous-espaces vectoriels de $E$ quand $\dim E=1$ sont $\{0 \}$ et $E$. 
Je vois ça à l'aide d'un dessin.
Sinon, si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E=Vect(a)$, alors $\dim F \in \{0,1 \}$ : 

• Si $\dim F=0$, alors $F=\{0 \}$
• Si $\dim F=1$, la seule façon d'avoir $F \subset Vect(a)$, c'est d'avoir $F=Vect(a)$.

Donc $\theta$ est irréductible.

OShine

@NicoLeProf
Ok merci. 
La question $16$ n'est pas si simple à rédiger.
Je vais essayer de le faire proprement. Après je ne vois pas de difficulté dans le $16$, mais vous me direz si ma récurrence tient la route.

OShine

Je ne suis pas sûr de moi pour cette question, qui n'est pas si simple. De plus, je bloque sur un point dans l'hérédité.

Q16) Montrons par récurrence finie sur $\dim E=n$ la propriété suivante : 
$\mathcal P(n)$ : "Soit $\theta : G \longrightarrow GL(E)$ une représentation d'un groupe fini d'espace $E$. Il existe des sous-espaces invariants $F_1, \cdots, F_k$ de $\theta$ tels que $E=F_1 \oplus \cdots \oplus F_k$ et $\forall i \in [|1,k|]$ la représentation $\theta_{| F_i}$ est irréductible."

Initialisation.
Si $n=\dim E =1$, alors si on pose $F_1=E$ et $F_2= \{0 \}$, on a $E=F_1 \oplus F_2$. On a  $\theta_{| F_1}=\theta$ qui est irréductible d'après Q15. De plus, $\theta_{| F_2}$ est clairement irréductible car $\theta(g)_{ \{0 \}} : \{0 \} \longrightarrow \{0 \}$.

Hérédité.
Supposons $\mathcal P(j)$ vraie pour tout $j \in [|1,\dim E|]$.
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $\dim E=n+1$.
Soit $F$ un sous-espace invariant de $\theta$. Il existe bien car si on prend un sous-espace vectoriel strict de $E$, il possède au moins un invariant de $\theta$ d'après l'hypothèse de récurrence.
On a donc d'après Q14, $E=F \oplus \ker (q)$ avec $\dim F < \dim E$. 
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des sous-espaces invariants $F_1, \cdots, F_k$ de $\theta$ tel que $F=F_1 \oplus \cdots \oplus F_k$ et et $\forall i \in [|1,k|]$ la représentation $\theta_{| F_i}$ est irréductible.
On pose $F_{k+1}= \ker(q)$ qui est invariant de $\theta$.
Il reste à montrer que $\theta_{| \ker(q)}$ est irréductible. Je ne vois pas comment.

bd2017

On y est presque, il me semble. Si j'ai bien compris $\dim \ker(q) \leq n$  alors je pense que tu peux appliquer l'hypothèse de récurrence ici aussi.

Edit :  concernant l'initialisation, est-il nécessaire d'avoir $F_2$  qui par ailleurs est réduit à 0 ?  

Etienne91

Pour l’initialisation, je ne suis pas expert du sujet mais je ne crois qu’une représentation est un morphisme vers le groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension strictement supérieure à $0$. Si $\dim (E)=1$ il suffit donc d’écrire $E=F_1$.

OShine

Ok merci ! 

@bd2017
J'ai oublié de préciser dans l'hérédité que $\dim E \geq 2$.
On peut prendre $F$ tel que $1 \leq \dim F < \dim E$. Donc $\dim \ker(q) < n+1$.
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des sous-espaces invariants $F_{k+1}, \dots, F_l$ tels que $\ker(q)=F_{k+1} \oplus \dots \oplus F_l$ et pour tout $i \in [|k+1,l|]$ , $\theta_{ | \ F_i }$ est irréductible.
Ainsi, les existe des sous-espaces invariants $F_1, \dots, F_{k},F_{k+1}, \dots, F_l$ tels que $E=F_1 \oplus \dots \oplus F_l$ et pour tout $i \in [|1,l|]$ , $\theta_{ | \ F_i }$ est irréductible.
Ce qui démontre $\mathcal P(n+1)$.
Le théorème de Maschke est ainsi démontré.

bd2017

Un petit détail qui me gêne dans ta rédaction de l'hérédité  c'est l'usage de $E.$ 

Tu supposes avoir $P(j), j=1,...,n.$ Donc quand tu démarres ta démonstration tu supposes que $\dim (E)=n+1$. Mais alors quand tu vas utiliser ton hypothèse de récurrence  $P(1),...., P(n)$ c'est pour des espaces qui ne sont pas $E$. Donc cela serait bien que tu modifies cette ligne ci-dessous

OShine a dit :
Hérédité.
Supposons $\mathcal P(j)$ vraie pour tout $j \in [|1,\dim E|]$.

D'autant plus que $\dim(E)=n+1$  et que c'est pour $j=1,\dots,n$

OShine

Oui tu as raison, j'ai trouvé cette récurrence pas facile à écrire.

$\mathcal P(j)$ : "Soit $\theta : G \longrightarrow GL(E)$ une représentation d'un groupe fini d'espace $E$ de dimension $\dim E=j$. Il existe des sous-espaces invariants $F_1, \dots, F_k$ de $\theta$ tels que $E=F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ et $\forall i \in [|1,k|]$ la représentation $\theta_{| F_i}$ est irréductible."

Dans l'hérédité, on suppose $\mathcal P(2), \dots, \mathcal P(n)$ vraies. Puis on montre $\mathcal P(n+1)$.

bd2017

Non je trouve que c'est à presque  correct (si je ne me trompe pas car je n'ai pas bien suivi toutes les questions).  

Si on veut, ta récurrence est bonne, le "petit"  problème de rédaction semble ne pas apparaître dans ton raisonnement. C'est pour cela qu'il est correct. 

Mais quand tu as utilisé  $P(j)$ c'est pour un  s-e-v de dimension plus petit que $E$  qui, ce dernier,  est de dimension $n+1.$  

Donc simplement quand tu énonces $P(j),$  l'espace en question ne sera pas $E$ alors nomme le autrement, $E_j$ par exemple. C'est tout ce que je voulais dire.

OShine

Ah d'accord merci. 
En même temps, la récurrence était la seule question intéressante, le reste était facile.