Petite statistique

Je suis en train de corriger un devoir sur table donné à des élèves de seconde.
Le sujet comportait, entre autres, la résolution des équations suivantes.
\begin{align}\frac{5x-7}{3x+6}&=-5\\
\frac{6x-5}{-x+9}&=\frac{2}{7}\\
\end{align}
Je ne me rends pas compte si c'est un exercice difficile pour l'élève lambda de seconde.
Toujours est-il voici les résultats: 10 sur 35 ont résolu les deux équations (je ne peux pas affirmer que le travail a été fait individuellement)
Je crois que j'ai vu dans les copies des élèves toutes les erreurs qu'on peut faire sur le sujet, ou peu s'en faut. Un peu plus ont résolu la première équation.
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Réponses

  • bd2017
    Modifié (3 Feb)
    Alors ça démontre peut être que la dégradation a atteint les parents. À quoi sert-il d'enseigner les mathématiques en seconde quand on n'est pas capable de résoudre une équation du premier degré ?
     
  • gerard0
    Modifié (3 Feb)
    Heu ... "un devoir sur table", donc sans les parents.
    En fait, tout dépend de l'avancement du cours, si les techniques de résolution d'équations "complexes" viennent d'être vues, ou si c'est une reprise de questions vues en octobre. 
    J'aimerais que des profs de collège me contredisent, mais je crains que ce genre de sujet ne soit plus traité en collège, ni même la condition d'égalité des fractions autrement que sur des fractions d'entiers connus.
    Cordialement.
  • Cela dépend des établissements. Mais en collège « difficile », c’est vain. 
  • @bd2017 : C'était un devoir sur  table. 1h30 5 exercices. C'était un peu long selon moi mais les équations étaient dans le premier exercice et pour un certain nombre d'élèves qui n'ont pas réussi ce n'est pas le temps qui leur a manqué mais les connaissances.

    Je n'ai pas le temps de regarder plus finement car parmi les gens qui n'ont pas réussi il y a des erreurs de calcul (méconnaissance des tables de multiplication) mais ils savaient quoi faire (réduction au même dénominateur etc). Mais j'ai vu tout de même un festival d'erreurs qui me font penser qu'il y a certainement un bon tiers des élèves de cette classe (au jugé) qui ont des idées fausses dans la tête concernant la méthode de résolution.
  • gerard0
    Modifié (3 Feb)
    FdP, tu es devant le problème classique du correcteur qui n'est pas l'enseignant. Un devoir sur table sert à vérifier quelque chose, si ce n'est pas l'enseignant qui le corrige, il ne sert plus qu'à noter arbitrairement les élèves, sauf si l'enseignant donne les éléments précis sur ce qui a été vu en cours, ce qui devrait être connu de l'élève moyen et le barème précis de correction.
    Mais peut-être ce devoir était-il fait pour mettre en exergue justement ces "idées fausses" ...
    Cordialement.
  • philou22
    Modifié (3 Feb)
    À ce stade de l’année je dirais que ce n’est pas surprenant sauf si des équations de ce type ont été traité en quantité en classe. Je trouve très drôle l’appellation « devoir sur table ». Lorsque j’étais au collège je faisais souvent mes devoirs par terre. Les termes que j’utilise maintenant sont « Devoir surveillé » et « Devoir en temps libre ». De la « remédiation » en question « flash » pourrait être utile. Il est bon de ressasser dès la 5e que $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ signifie $ad=bc$.
  • Une remarque : dans ce cas précis je préfère « revient à dire » que « signifie » (évidemment en l’état ce n’est pas vrai à cause des dénominateurs mais ce n’est pas le sujet). 
  • philou22
    Modifié (3 Feb)
    @Dom compte tenu de la construction de $\mathbb{Q}$ à partir de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z^{*}}$ et de la relation d’équivalence $(a,b) \mathcal{R} (c,d)$ ssi $ac=bd$ dont les classes d’équivalence constituent $\mathbb{Q}$ le verbe signifier me semble approprié. Se rapprocher de la véritable définition des fractions permet d’en démystifier une grande partie même si la « notion de partage » n’y apparaît pas explicitement.
  • En 5e, non. La définition donnée de $\frac{a}{b}$ est « le seul nombre qui, quand on le multiplie par $b$, donne $a$ » (valable quel que soit $a$ et quel que soit $b$ non nul).
    Un théorème de 4e permet d’avoir « revient à dire » sur cette question de légalité des produits en croix. 
  • La question de fond est pourquoi les élèves de seconde ne transforment pas l’équation fractionnaire en égalité de produit.
  • Bonjour Fin de partie,
    est-ce indiscret de te demander combien est rémunéré ce travail ? Tu as le droit de ne pas répondre, je me fiche de savoir combien tu gagnes et je suis très content si ça te permet de vivre. Mais je suis curieux de savoir combien dépensent ces établissements privés pour faire faire le travail de leurs profs pour lequel ils sont déjà payés par des prestataires extérieurs.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Si une moitié des élèves n'arrivent pas à résoudre ce genre d équations. Il faut blâmer le prof.   et non pas les élèves 
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane C’est un peu simpliste, tu ne sais pas ce qui a été fait en classe, le travail personnel qui a été donné et tu ignores le niveau de motivation des élèves. De nos jours ce genre d’affirmation est délétère pour les apprentissages. C’est même encore plus grave, dans le contexte actuel, cela encourage à l’irresponsabilité.
  • gebrane, ton commentaire est naïf (j’allais dire « idiot » mais cela n’aurait pas été très cordial). 
    Présente-moi « le meilleur prof » [dans la profession, ça ne signifie rien], je vais lui choisir ses élèves et tu auras de quoi le blâmer. 

    Philou22, oui, je suis parfaitement d’accord sur ce point. Le réflexe ici, c’est de transformer ça avec les produits en croix. J’imagine que dans les erreurs relevées par Fin de partie on va avoir les erreurs de signes ensuite, et des développements simples mal effectués et de manière navrante. 
  • gebrane
    Modifié (3 Feb)
    philou 
    Et pourquoi un établissement privé fait appel à un correcteur extérieur ? Est-ce pour jeter l'argent par la fenêtre, comme le stipule Z N, ou bien justement pour savoir ce que fait le prof en classe ?  L'élève doit maîtriser ces bases, sauf si le prof n'arrive pas à maîtriser sa classe avec des élèves adolescents difficiles à gérer.
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Modifié (3 Feb)
    @Zeitnot: Très peu. Le rapport salaire sur temps consacré est très défavorable. On est très largement en dessous du smic horaire.

    PS:
    Désolé, j'ai encore encore écorché le pseudo de Zeitnot.

  • zeitnot
    Modifié (3 Feb)
    Ok, je me doutais un peu que c'était famélique.
    (Sinon, il n'y a pas de zeinot sur le forum. o:)  )
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Fin de partie
    Modifié (3 Feb)
    @Gebrane:

    C'est un service rendu qui a un coût. Il faut croire que tu ne peux pas demander à un enseignant, même dans le privé, de multiplier les devoirs sur table de longue durée.

    Ce qui est compréhensible. Cela me prend plusieurs heures de faire ce genre de correction. C'est assez rare que je corrige des devoirs sur table de courte durée.
    En général, c'est plutôt des "bacs blancs", "brevets blancs"pour les troisièmes.

    Par ailleurs, cela permet d'être noté par quelqu'un qui est "neutre", extérieur.

    Dans certains établissements privés, il y a régulièrement des oraux organisés de la seconde à la terminale (peut-être aussi pour les collégiens mais je ne l'ai jamais fait pour les "petites" classes). Les élèves qui ne fichent rien, se font "chopper" à cette occasion. J'imagine que cela doit être un moment difficile pour les élèves ces oraux.
  • Ça permet l’anonymat et peut-être même d’éviter des soupçons de favoritisme et justement de dédouaner le prof de la classe a certains égards. 
    Je ne dis pas que c’est sans biais mais des parents pourraient le penser. 
  • zeitnot a dit : 
    Sinon, il n'y a pas de zeinot sur le forum

    Si c'est pour ça il n'y a pas non plus de Gershgorin... :mrgreen:

  • gebrane
    Modifié (3 Feb)
    Dom,
    j'ai connu ce genre de prof, impossible qu'il fasse autorité en classe et toujours la bonne excuse : 'Je n'arrive pas à transmettre car j'ai une classe de banlieue et les élèves ne s'intéressent pas.' Le prof doit être créatif pour captiver leur intérêt. .
    Mon point de vue choque et n'est  bien accueilli donc considéré comme idiot.
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Modifié (3 Feb)
    @Philou:
    Je me suis demandé pourquoi les élèves n'utilisent pas "le produit en croix". En fait, c'est peut-être plus simple d'un point de vue méthodologique de réduire au même dénominateur.
  • Fin de partie
    Modifié (3 Feb)
    @Dom :
    On ne m'a jamais donné de consigne mais je pense que si je me mettais à noter durement les élèves j'aurais un retour fâcheux.

    @Gebrane:
    Il faudrait que tu vois les erreurs qu'on trouve dans un tel devoir pour comprendre que ce n'est pas un "simple" problème de mauvaise transmission de connaissances.

    Je te cite deux erreurs qui sont certainement courantes.
    1) Peu importe ce qu'est le membre de droite,par exemple, $\dfrac{2x+3}{1+x}=-1$ des élèves vont invoquer la propriété "un produit est nul si ..." pour en "déduire" que $2x+3=0$.

    2) Certains vont te résoudre l'équation $\dfrac{2x+3+3x-7}{17x+7}=0$ en affirmant que soit $2x+3=0$, soit $3x-7=0$.
  • Crois ce que tu veux gebrane, les profs ont l’habitude de tes propos. J’arrête la digression. 
  • gebrane
    Modifié (4 Feb)
    FDP
    Et si le prof avait insisté au moins une fois dans l'année pour expliquer que pour résoudre ces équations, on fait le produit en croix ?
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Modifié (4 Feb)
    @Gebrane: Il faut comprendre que peu importe la clarté du propos d'un enseignant et peu importe que celui-ci soit génial il y aura une distorsion qui se fera dans la tête d'élèves qui va réduire (presque) à zéro le bénéfice de l'enseignement reçu (au moins ponctuellement).

    Je t'ai cité deux exemples du résultat de la distorsion qui peut s'exercer dans la tête d'élèves dans le cas de la résolution de certaines équations.
  • Le prof de seconde, il récupère des élèves qui ont 4 années de collège derrière eux, plus 5 années de primaire. Et il ne choisit pas ses élèves. Demander à un prof de seconde de réparer 9 années de dysfonctionnements / échecs / ratés, ça n'a pas de sens.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • zygomathique
    Modifié (3 Feb)
    salut

    tout comme @Dom je pense que le propos de @g@gebrane est stupide ... et pas stupide quand je lis son deuxième paragraphe et que je retrouve la même expression chez @Fin de partie

    je n'ai enseigné que peu de temps au collège mais j'ai toujours fait l'effort d'être rigoureux voire parfois même au détriment de l'instruction !!
    le produit en croix n'est pas une opération mathématique mais le résultat d'une opération mathématique qui, elle, est valide : 

    ce que j'ai appris au collège c'est que pour toute (in)égalité je peux appliquer exactement la même opération f aux deux membres de cette (in)égalité avec la contrainte que dans le cas d'une inégalité je dois respecter l'ordre induit par les variations de l'opération f

    je peux donc ajouter 2, retrancher 3, multiplier par 4 ou -5, diviser par -3 ou 7 tout autant que prendre la racine carrée, ou l'inverse ou ... le carrée

    mais par exemple dans ce dernier cas de prendre le carrée il ne se passe pas la même chose si mes nombres de départ sont tous deux négatifs ou tous deux positifs puisque l'ordre de images n'est pas toujours l'ordre des réels ... comme lorsque je multiplie ou divise par un nombre négatif (d'ailleurs je ne divise jamais par un nombre mais je multiplie toujours par l'inverse de ... voir (*) plus bas)

    enfin tout ça pour dire que le produit en croix est le résultat du produit des deux membres par le même nombre non nul qui est le produit des dénominateurs

    mais que je suis long ... vu que c'est long à dire si on veut être rigoureux ...

    et tout cela se termine avec les quatre (in)équations 2x # a ou x/2 # a ou x - 2 # a ou x + 2 # a où # représente = ou < ou > ou ... par "on passe 2 de l'autre côté" !!!

    et donc le prof abandonne car le gamin y arrive ... jusqu'à ce qu'il n'y arrive plus quand tout d'un coup il faut de l'exigence ... que le prof ne lui a pas imposé ... et donc @gebrane a raison

    l'élève s'est alors construit un moyen (superficiel et inconsistant) de résoudre ... qui ne peut pas durer lorsqu'il faut formaliser et passer à l'abstraction

    (*) mais en même temps cet exigence de rigueur (qui m'a permis d'avancer) conduit aussi maintenant à l'échec parce qu'il n'y a plus de langage permettant de supporter (au sens propre) cet exigence et que d'autre part il faut faire du chiffre ...

    si nos technocrates pouvaient avoir 150 % de réussite au bac ils se féliciterait ... voila où même l'absurdité de notre monde ...
    on peut le constater d'ailleurs avec ces élèves qui ont plus de 20/20 au bac ce qui est une absurdité sans nom !!!

    et pour ma part je n'ai jamais vu de salarié avec un contrat à 2000 € être payés 2500 € !!!  :D 

    et c'est pourquoi @gebrane a tort   :D car les prof font ce qu'ils peuvent dans ce système absurde pour sauver leurs élèves (à l'insu de leur plein gré même parfois) et que les "bons" prof qui veulent sortir les élèves se font descendre parce que leur exigence pour mener les élèves vers le haut ne s'en sortent pas et ont "de mauvais résultats" !!

    et donc "faire" le produit en croix c'est trop cool parce que les élèves "comprennent" sans savoir ce qu'ils font !!! et on (l'institution) est content(e) parce que les élèves ont "réussi" l'exercice" !!! et le prof est un bon prof !! et @gebrane a tort !!  :D comme dans son dernier post


    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • J'ai voulu délibérément tester la réaction des profs lorsqu'on les accuse. Au final, on te prend pour un idiot avec un bonus:  idiot et  stupide à la fois.
     Laurann a dressé un état des lieux brillant : 'Demander à un prof de seconde de réparer 9 années de dysfonctionnements/échecs/ratés, ça n'a pas de sens.' J'ai une solution : on ferme les lycées.
    Le 😄 Farceur


  • « J’ai voulu délibérément tester la réaction de X lorsqu’on le traite de … Au final, on te pète la gu**le avec un bonus : on te pète aussi les genoux » @gebrane dans le texte. :D 
  • Sato
    Modifié (3 Feb)
    Dans certaines classes, le taux de réussite serait de 0 ou 1 sur 30. S’ils viennent d’un collège où ils n’ont strictement rien fait malgré une majorité de « vert », il est vain, me semble-t-il, de dire que c’est la faute du prof qui les récupère et pas seulement en raison de leurs lacunes. (PS : je parle de ce que je connais.)

  • Fin de partie
    Modifié (4 Feb)
    @Gebrane
    Si tu appliques le produit en croix à la seconde équation de mon premier message tu te retrouves avec :
    $7(6x-5)=2(-x+9)$ et il te faudra "passer" un des membres dans l'autre de toute façon (ce qui correspond au numérateur après réduction au même dénominateur, et addition des fractions obtenues) et d'autre part, il n'est pas clair en seconde si on résout en utilisant des équivalences ou par implication, donc tu fais disparaître (ou tu perds de vue*) la condition que la valeur candidate à être solution ne doit pas annuler le dénominateur de la fraction initiale**).
    Pas sûr que le "passage" dans le même membre soit fait correctement du fait qu'on ne parle pas d'un entier, d'une fraction mais d'une expression algébrique.
    *:
    Dans le devoir que j'ai corrigé beaucoup d'élèves calculent "la valeur interdite" pour la fraction, mais ils n'en font rien, ils ne vérifient pas que cette valeur n'est pas la candidate à être solution.
    **:
    Résoudre l'équation $\dfrac{2x+3}{4x+6}=0$
    PS.
    On pourrait même voir $7\times 6x-5=2\times -x+9$ après application de la règle du "produit en croix".
  • C'est désastreux et l'agrégation est dans moins de un mois.
  • gebrane
    Modifié (4 Feb)
    FDP, soyons honnête sur la règle de croix. Si les élèves appliquent faussement cette règle, il faut savoir comment le prof explique cette règle. De ma part, je donnerais l'énoncé suivant :
    **Règle de croix**
    Soient des réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) avec \(b\) et \(d\) non nuls, alors \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc\).
    Pour ton équation \(\dfrac{2x+3}{4x+6} = 0 = \frac{0}{1}\), on explique à l'élève les bonnes habitudes. Pour \(x\) qui n'annule pas \(4x+6\), l'équation est équivalente à \((2x+3) \times 1 = (4x+6) \times 0\)=0"
    On peut critiquer mon utilisation de $\iff$.
    Le 😄 Farceur


  • Message dominical : croire qu’écrire un théorème suffit à ce qu’il soit compris, assimilé et appliqué. 
    Gros éclat de rire. Merci. 
  • biely
    Modifié (4 Feb)
    Difficile ou pas difficile ce n’est pas vraiment la question. Les équations demandent surtout de la pratique régulière et en général ce n’est pas fait au collège (je parle d’exercices bruts et non d’une petite équation noyée dans un problème). Exemple: on les aborde une ou deux semaines en fin de quatrième (et les grandes vacances d’été lessivent tout rapidement) et on les recolle en troisième durant deux semaines juste avant le stage ou des vacances et puis plus rien. Pour la règle de croix j’écrivais (a)(d)=(b)(c) avec des parenthèses en pointillés ce qui aidait à allumer une petite lumière rouge dans le cas des équations citées par Fin de partie (même si elles ne sont pas les plus ’’dangereuses’’ pour l’oubli des parenthèses). Les puristes pousseront un cri d’effroi mais c’était en cours particuliers. 
  • Bonne idée, ces parenthèses. 
    On m’a montré l’exercice suivant : calculer $F=3x+1$ lorsque $x=-1$. 
    Plusieurs élèves de 3e (tous les niveaux) ont « remplacé $x$ par $-1$. 
    $F=3x+1$
    $F=3-1+1$. 
    Certains profs y ont vu « une confusion entre $\times$ et $+$. Moi j’y ai plutôt vu un « copié-collé » comme dans WORD « $x$ \rightarrow $-1$ ». 
    On le voit aussi en 5e quand $ab$ pour $a=5$ et $b=8$ devient $58$. 
    On imagine qu’avec $(a)(b)$ ça n’arriverait pas. Mais évidemment dans ce cas « pourquoi enlever les $\times$ si on met des parenthèses 😬.
  • Matricule_63
    Modifié (4 Feb)
    @biely Perso, je fais bien plus d'équations que ça. Vu vers la fin du premier trimestre en 4e , et j'en refait très régulièrement.

    @Dom Je suis d'accord avec ton analyse de l'erreur, mais pour le coup aucun de mes élèves, même les moins bons, ne la fait.
    Dès la 5e, a chaque fois qu'on voit une expression littérale "on rappelle, qu'est-ce qu'il y a de caché entre le 3 et le $x$?" et ils ont bien automatisé.
  • gebrane
    Modifié (4 Feb)
    Dominique
    Tu déformes ce que je dis à chaque fois. Préciser le cadre d'application d'une règle est une condition nécessaire pour un bon apprentissage. Dire qu'il est suffisant, c'est une autre histoire. Mais parlons mathématiques, Dom. J'ai connu la règle des trois en primaire et au collège, et aucun professeur n'a précisé le cadre d'application. Ils appliquent la règle et c'est tout. Peux-tu, Dom, m'écrire un théorème mathématique sur la règle des trois ? je dis bien la règle des trois et non pas la multiplication en croix 
    Le 😄 Farceur


  • Même si c’est un établissement privé, les élèves peuvent venir de n’importe où. Et dans certains collèges, c’est difficile de faire faire des gammes aux élèves. Voire « il faut jouer ». 
  • Fin de partie
    Modifié (4 Feb)
    @Dom:
    Les médias montrent deux ou trois exemples d'établissements privés considérés comme la crème dans le domaine et tout le monde (ceux qui ont leur gosses dans l'enseignement public) finit par croire que tous les établissements privés ressemblent à ça.
    Tous les établissements privés ne sont pas des établissements d'élite et on peut y voir, comme ailleurs, des classes entières d'élèves très faibles en mathématiques.
  • Fin de partie
    Modifié (4 Feb)
    @Gérard:
    C'est rarissime que je corrige des devoirs sur table ordinaires (dans le sens que cela relève du travail normal de l'enseignant qui donne les cours de mathématiques).
    La grande majorité de ce que je corrige sont des sujets blancs d'examen.
    Avec les copies je remets un texte qui fait un petit bilan d'erreurs que je vois passer (qui surviennent plusieurs fois).
    Je fais rarement des statistiques sur la réussite aux questions mais là comme j'ai peu de choses à signaler dans les généralités cela m'a semblé intéressant d'y ajouter cette statistique (C'est moche que les 2/3 des élèves de la classe n'ont pas été capables de résoudre jusqu'au bout ces deux équations).
  • Fin de partie
    Modifié (4 Feb)
    @Gebrane.
    Je pense que tout le monde énonce le principe du produit en croix de la même façon et quand tu vas faire appliquer ce principe à l'égalité $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ j'imagine que très peu ne vont pas écrire qu'on a $6\times3=9\times 2$.
    Maintenant si on veut l'appliquer à $\dfrac{1-x}{1+x}=-\dfrac{3}{5}$ je pense qu'on va commencer à perdre un certain nombre d'élèves.
  • Peut-être oublié-je mais il me semble n’avoir jamais appris de règle du produit de croix, sous ce nom ou un autre. Au collège j’ai toujours « fait passer de l’autre côté », règle apprise en 5 minutes. Je ne prétends aucunement que c’est ce qu’on devrait enseigner à tout le monde aujourd’hui. Cependant, pourquoi critiquer le « faire passer un dénominateur » si c’est pour faire apprendre une règle où on en fait passer deux d’un coup ??

  • Le problème est que justement le ’’faire passer’’ n’est pas une règle mais une expression qui regroupe plusieurs règles (et si l’élève n’est pas conscient de cela alors le ’’faire passer’’ relève plus de la magie qu’autre chose avec les conséquences que l’on connaît). 
  • SchumiSutil
    Modifié (4 Feb)
    J'imagine que le lycée de Fin de Partie est bien meilleur qu'une bonne partie des lycées publics.
    J'imagine qu'en prenant les BCPST et ECG 1ere année en Septembre, on aurait pas beaucoup mieux que 30% de bonnes réponses, voire moins bien, et je ne garantis rien sur le pourcentage sur les étudiants de deuxième année....
    Aucune statistique ici, simplement la liste d'écrits au tableau de deux étudiants de 1ere année de prépa ECG en une grosse demi-heure de colle il y a quelques jours.  Je précise que la colle finit à 13h35 et qu'il y avait 1/(t - 1/t)) = 1/t en plus de cette liste après 13h25.
    Je dois également ajouter un commentaire sur l'expression orale : de plus en plus d'étudiants ont du mal à faire une phrase correcte à l'oral, nombreux sont ceux qui expliquent leurs raisonnements via "du coup, ben... du coup, ... , du coup".
  • Matricule_63
    Modifié (4 Feb)
    @Sato Au collège tu as vraiment appris "fait passer"!? Perso je me bats pour leur faire dire "j'invente un calcul des deux côtés". (bon ça manque de rigueur, et ça peut amener à des bêtises comme $x+1=0 \iff x+1\times2 = 0\times2$, mais c'est déjà je trouve beaucoup mieux).
  • Au sujet de « je fais le truc des deux côtés » (peu importe la formule utilisée) je rappelle deux choses qui sont des définitions et donc qui ne viennent pas de « trucs des deux côtés ». 
    La différence de b et a :  
    quels que soient les nombres $a$ et $b$, il existe un seul nombre $\square$ tel que $a+\square=b$ on le note $b-a$. 
    si de plus $b$ est non nul, il existe un seul nombre $\bigcirc$ tel que $b \times \bigcirc =a$, on le note $\frac{a}{b}$. 

    Bien entendu, ajouter « on retombe sur nos pieds en faisant ceci ou cela des deux côtés » n’est pas exclu. 
  • @Dom C'est une manière de voir. Après, je peux très bien dire

    1. Pour tout $x,y$ ; pour toute opération $\cdot$, pour tout $z$ tel que  $x\cdot z$ et $y \cdot z$ sont définis, $x=y \Rightarrow x\cdot z = y \cdot z$ (unicité de l'image)
    2. Notons $-x$ l'inverse de $x$ pour l'addition. Par abus de notation, posons pour tout $x, y$ : $x-y := x+(-y)$

    Alors, pour tout $x, y, z$, $x+y=z \Rightarrow x+y-y=z-y \Rightarrow x=z-y$
    Réciproquement, $(z-y)+y=z \Rightarrow z=z$.
    Donc $x+y=z \iff x=z-y$

    On peut donc dire que $z-y$ est l'unique solution de l'équation $x+y=z$.

    Nul besoin de le poser par définition.

    Maintenant, d'un point de vue pédagogiques, ta définition est effectivement présentée au élève bien avant qu'ils abordent les équations. Je me demande s'il est pertinent d'aborder la résolution d'équation en l'utilisant.
    D'un côté, on revient à des définitions connues qui ne devraient pas poser problème. On n'a de plus pas besoin de s'embêter avec les subtilités des équivalences.

    De l'autre, j'ai peur que ce soit rapidement assez lourd... $2x+1=0$, or l'unique nombre vérifiant $X+1=0$ est $-1$, donc $2x=-1$, ...
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