Comprendre les définitions de l'intégrabilité uniforme

APf

Il semble que je sois en train de mal interpréter certains concepts. J'apprécierais si quelqu'un pouvait me remettre sur le droit chemin. Je résous des exercices dans un espace de probabilité \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) donc par exemple \(\mathbb{E}(c)=c\) avec \(c\) une constante. Bien, maintenant j'ai deux concepts uniforme intégrabilité et bornée qui me font trébucher. Voici ce qui traverse mon esprit maintenant.

(A) Si une famille de variables aléatoires est uniformément intégrable, alors elle est bornée dans \(L^{1}\), être bornée dans \(L^{1}\) je comprends que cela signifie \(\sup_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{E}(|X_n|)\) est fini. Mais par exemple si \(\sup_{n\in \mathbb{N}}|X_n|\) est fini alors je peux déduire \(\sup_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{E}(|X_n|)\) est fini. Donc vraiment, il suffit d'étudier le fait que \(\sup_{n\in \mathbb{N}}|X_n|\) soit fini.

(B) Il m'a été averti que la bornitude dans \(L^{1}\) de v.a. n'implique pas l'uniforme intégrabilité. Prop : une famille bornée dans $L^{1}$ n’est pas nécessairement u.i.

(C) Mais j'ai prouvé que si une famille de variables aléatoires qui est bornée par une v.a intégrable alors elle est uniformément intégrable.

Donc, je sens que quelque chose ne va pas : pourquoi alors si j'ai la bornitude, puis-je ou non dire que j'ai l'uniforme intégrabilité ? Par exemple si j'ai une séquence de v.a \((X_n)\) telle que \(|X_n|\leq C\), alors \(\mathbb{E}(|X_n|)\leq \mathbb{E}(C)=C\) donc \(\sup_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{E}(|X_n|)\leq C\) bien mais cela signifie que \((X_n)\) est borné dans \(L^{1}\), mais \(C\) est intégrable... parce que \(\mathbb{E}(C)=C\) alors selon (C) : je peux affirmer que \((X_n)\) est uniformément intégrable. Donc, je ne comprends pas pourquoi la bornitude dans \(L^{1}\) n'implique pas l'uniforme intégrabilité. Qu'est-ce que je néglige ? Je sais que je commets probablement une erreur dans mon argumentation, mais je ne peux pas voir.
Merci d'avance.

APf

Pour être plus précis, j'ai des problèmes à comprendre pourquoi les deux propositions suivantes ne sont pas en conflit.
(a) Si une famille de v.a. $(X_i)_{i\in I}$ est bornée par une v.a. intégrable, alors elle est u.i.
(b)  Une famille bornee dans $L^{1}$ n’est pas n´ecessairement u.i.

APf

D'accord, formaliser la question me semble mener à la réponse : je passe à côté de la définition d'une famille de v.a. $(X_i)_{i\in I}$ avec une suite $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de v.a.  ... Je ne sais pas...

Barjovrille

Bonjour, 
Quelle est la définition d'une famille de v.a uniformément intégrable ?
Ca veut dire quoi $\sup_{n\in \mathbb{N}}|X_n|$ est fini ?
Et comment tu as prouvé c) ?

Poirot

La réponse à tes questionnements est simplement que tu n'utilises pas la bonne définition de l'uniforme intégrabilité... Ce n'est pas équivalent à être majoré par une borne uniforme intégrable, qui implique l'uniforme intégrabilité.

APf

Je suis désolé, mais je ne peux pas encore comprendre cela. En réponse à la question précédente, je sais : une famille de v.a est ui si $\lim_{a\to +\infty}\sup_{i\in I}\mathbb{E}[|X_i|\mathbb{I}_{\{|X_i|>a\}}]=0$. Pour la preuve en (c), j'ai argumenté en utilisant le théorème de convergence dominée.

APf

D'accord, je pense que j'ai peut-être compris le problème. Nous avons que \(|X_n| \leq Y\) et \(E(|Y|) < \infty\) implique l'intégrabilité uniforme. Cependant, si le \(\sup_{n\in \mathbb{N}}E(|X_n|)\) est fini, cela signifie qu'elle est bornée dans \(L^1\), cela ne signifie pas que \(X_n\) est bornée par une variable aléatoire intégrable, cela indique juste que c'est fini presque sûrement, ce qui n'est pas la même chose que borné presque sûrement. Est-ce là le problème de ma mauvaise interprétation ?