Stabilité d'un système dynamique avec contrôle

IchigoKurosaki14

Bonjour

Pour un système dynamique linéaire de la forme : $dx/dt = Ax$  ou  $x(t+1) = Ax(t)$,
on a les critères de stabilité qui se basent sur les valeurs propres de $A$ (que ce soit le cas continu ou discret). 

Pour un système dynamique avec contrôle : $dx/dt = Ax + Bu$   ou  $x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)\quad      (*)$
1. Peut-on utiliser les mêmes critères de stabilité uniquement pour la matrice $A$ de $(*)$ ? Ou doit-on utiliser ces critères sur $A$ et $B$ ? Ou alors, y a-t-il d'autres critères à considérer dans ce cas précis ?
2. Quel rôle joue le terme $Bu(t)$ dans la stabilité ? Car je me dis que, comme on a le "contrôle" sur ce terme, il suffirait que $A$ respecte les critères, et de "calibrer le terme $Bu(t)$" pour rendre tout le système stable.

PS : je n'ai eu aucun cours sur les systèmes dynamiques, désolé si je dis des bêtises 
Merci d'avance.

bd2017

Bonjour, $B$ joue sûrement un rôle pour la stabilité. D'ailleurs si tu n'as aucune information sur $B$  ton système peut être non contrôlable, l'énergie du système au lieu de décroître pourrait augmenter et ton système exploser. 

De toute façon, ta question est trop vague et je me demande ce qu'est $u(t)$ pour toi ? 

Dans la pratique, il est préférable de poser des questions sur des exemples au lieu de poser des questions sur un sujet qu'on ne connait pas.    

IchigoKurosaki14

Merci de ta réponse.

Pour moi u(t) est une composante dont on a le choix sur son expression. Par exemple choisir u(t) = t. Personnellement je visualise cela comme étant par exemple un piston dont on contrôle le mouvement. 

Ma question porte sur la stabilité. J'ai lu que pour des systèmes linéaire du type x' = Ax, il suffisait de calculer les valeurs propres de A et de vérifier si elles ont une partie réelle négative. Mais comme je m'intéresse aux systèmes de la forme x' = Ax +Bu, je me demande si le fait que A respecte le critère "partie réelle des valeurs propres < 0", suffise à ce que le système soit dit "stable". 

Mon questionnement provient à la base de cette article : 
https://proceedings.neurips.cc/paper/2020/file/9cd78264cf2cd821ba651485c111a29a-Paper.pdf

où il est stipulé dans la partie 3 (lorsqu'ils formulent le problème) qu'uniquement A appartient à l'ensemble des matrices stables. 

PS : effectivement je ne connais pas le sujet et je m'intéresse surtout à la partie algorithmique mais comprendre le contexte pourrait m'aider davantage. 

bd2017

Bonjour

C'est pas mal ce que tu essayes de faire. C'est certain qu'avec un bagage mathématiques cela peut t'aider. Personnellement j'ai un peu oublié tout ça par manque de pratique donc je ne peux pas trop t'aider dans l'immédiat. 

Néanmoins pour ce que tu veux faire en un premier temps, je te conseille d'abord de trouver un exemple concret, simple. Cela doit être possible sur internet. Et tu mets en oeuvre ton algorithme.

C'est au moins une première étape. Tu peux ensuite changer la matrice B et voir qu'en principe tu ne peux pas mettre n'importe quoi.  En résumé, de  mémoire, pour moi un problème de stabilité consiste en général à ramener ton problème à zéro.  C'est à dire que ton équation différentielle à une énergie  E(t)  (qui dépend de $A$  et de $B$ et de la condition initiale à l'instant $t=0$)  Il faut que la matrice $B$  (le contrôle soit telle que E(t) tend vers 0)

En dimension fine, on doit pouvoir  trouver des exemples simples  où  on détermine cette énergie. Ceci pour comprendre l'idée de base.

Il me semble qu'ici il y a des exemples concrets:  https://theses.hal.science/tel-01643958  (page 40)

bd2017

J'ai trouvé ça aussi. C'est un cours sur les équa-diff mais vers les pages 160,  le contrôle et la stabilité sont abordés.
https://ensta-paris.hal.science/hal-01744300/document
page 180  il me semble que ça répond à ta question.

IchigoKurosaki14

Merci beaucoup ! 

gebrane

Notre honorable bd2017 demande un exemple d'étude de stabilité  de $$X'(t)=AX(t)+V(t).$$

Étudier la stabilité en $(0,0)$ du système \begin{align*}x'(t) &=   5y(t)-x^5(t ) \\  y'(t) &= 2x(t) -y(t).\end{align*}

Coquille c'est $\sin^5(t)$