Agrégation interne - sujet 1 - exercice 3

LeVioloniste

Le 3eme exercice. Je pense qu'on va finir le 2eme exercice aujourd'hui.

OShine

@LeVioloniste
Cet exercice m'intéresse énormément.
Pourrais-tu ne pas donner les solutions tout de suite ? 
Je compte le faire ce soir.

LeVioloniste

Euh d’abord je finis l’exo 2. Je t’avoue je n’ai pas encore pris connaissance du contenu de cet exercice !

LeVioloniste

Ce soir je le traite si tu veux - enfin de ce que je sera capable de faire.

OShine

5-6-7-8 je sais faire de tête.
Le reste je dois réfléchir.

Poirot

Je serais curieux de te voir traiter 5 et 6.

LeVioloniste

@OShine Cela fait longtemps que je n'ai pas fait ce type d'exo ...
Pour me dérouiller je vais regarder ce qui se passe pour $g^2$ avant de faire $g^d$. Si on note $m$ son ordre on a
$(g^2)^n=e$ donc l'ordre de $g^2$ qui est $m$ divise $n$.
cas 1 : $n$ est pair alors $\exists n' \in \mathbb{N}, n=2n'$ puis $g^n=(g^2)^{n'}=e$. Donc l'ordre de $g^2$ divise $n'$.
L'ordre de $g^2$ est-il plus petit que $n'$ ? alors $g^{2n'}=e$ donne que l'ordre n'est pas plus petit, sinon cela contredit que l'ordre de $g$ est $n$, on trouverait un ordre plus petit pour $g$. donc $o(g^2)=n'=n/2$
cas 2 : $n$ est impair, $(g^2)^m=e=g^{2m}$. Or $o(g)=n | 2m$. Or $n$ impair alors $n|m$. L'ordre de $g^2$ divise l'ordre de $g$ donc $m|n$.
Comme $m$ et $n$ se divisent l'un l'autre alors $m=n$ et $o(g^2)=n$

Q5
Bien revenons à l'exo. Soit $r \in \mathbb{N}$ tel que $n=dr$.
On a $(g^d)^r=g^{dr}=g^n=e$. Donc $o(g^d) | r$. Maintenant l'ordre de $g^d$ est-il plus petit que $r$ ?Soit $r'$ l'ordre de $g^d$ alors $g^{dr'}=e$ avec
$r'<r$ contredit que l'ordre de $g$ est $n$. Donc $o(g^d) =r = \frac{n}{d}$.

OShine

Cet exercice est très joli. Ce sujet d'agreg interne est magnifique. J'ai fait 5-6-7, la fin me semble plus difficile, je tenterai ce soir, j'ai besoin de repos. 

Je commence par montrer un résultat qui résout directement Q5 et Q6.
Soit $q \in \Z$. Pour tout $k \in \Z$, on a les équivalences : 

• $(g^q)^k=1$
• $g^{kq}=1$
• $kq$ est multiple de $n$.
• $kq$ est multiple de $n$ et de $q$.
• $kq$ est multiple de $PPCM(n,q)$
• $kq$ est multiple de $\dfrac{nq}{PGCD(n,q)}$.
• $k$ est multiple de  $\dfrac{n}{PGCD(n,q)}$.

5) Si $d$ divise $n$, $PGCD(n,d)=d$ donc $\boxed{o(g^d)=\dfrac{n}{d}}$

6) On a montré précédemment que : $\boxed{o(g^d)=\dfrac{n}{PGCD(n,d)}}$.

7) Soit $o(g)=k$ et $o(h)=l$ avec $PGCD(k,l)=1$.
a) Montrons que $\langle g \rangle \cap \langle h \rangle = \{ 1_G \}$.
$\langle g \rangle \cap \langle h \rangle$ est un sous-groupe de $\langle g \rangle$ et de $\langle h \rangle$ donc son cardinal divise celui de  $\langle g \rangle$ et celui de $\langle h \rangle$, c'est-à-dire $k$ et $l$.
Donc son cardinal divise $PGCD(k,l)=1$. Donc ce sous-groupe est de cardinal $1$.
Finalement : $\boxed{\langle g \rangle \cap \langle h \rangle = \{ 1_G \}}$.

b) Pour tout entier $n \in \N$ on a $(gh)^n=(gh)(gh) \cdots (gh)=(g \cdots g)(h \cdots h)=g^nh^n$ car $G$ est abélien.
Montrons que $o(gh)=kl$.

• $(gh)^{kl}=g^{kl} h^{kl}=(g^k)^l (h^l)^k =1$ car $g^k=h^l=1$. Donc $o(gh)$ divise $kl$.
• Soit $n$ l'ordre de $gh$. On a $(gh)^n=g^n h^n=1$ donc $g^n =(h^n)^{-1}$. Donc $g^n \in \langle h \rangle$. Ainsi $g^n \in \langle h \rangle \cap \langle g \rangle$. Donc $g^n=1$ et $n$ est un multiple de $k$. Puis $h^n=1$ donc $n$ est un multiple de $l$. Finalement, $n$ est un multiple de $PPCM(k,l)=kl$. 

On conclut que : $\boxed{o(gh)= kl =o(g) o(h)}$.

OShine

8)
Effectuons une récurrence sur $n$.

• Si $n=2$, le résultat a été montré à la question $7.b$.
• Supposons que le résultat soit vrai au rang $n$ fixé et supposons $g_1, \cdots, g_{n+1}$ des éléments de $G$ d'ordre $k_1, \cdots, k_n,k_{n+1}$ deux à deux premiers entre eux. On a $o(g_1 \cdots g_n g_{n+1})=o(g_1 \cdots g_n) o(g_{n+1})$ car $\forall i \in [|1,n|] \ PGCD(g_{n+1},g_i)=1$ donc $PGCD(g_{n+1}, g_1 \cdots g_n)=1$. Mais l'hypothèse de récurrence fournit $o(g_1 \cdots g_n)=k_1 \cdots k_n$ donc finalement $o(g_1 \cdots g_n g_{n+1})=k_1 \cdots k_{n+1}$.

Le résultat est démontré par récurrence.

Cet exercice est long, à mon avis faire parfaitement les 3 exercices donnait l'admissibilité.

bd2017

Faire 3 exercices me semblent vraiment faiblard. On a 6 heures et si tu ne fais que ces 3 exercices avec peu de difficulté cela me parait vraiment juste pour une agrégation. Maintenant je ne suis pas à la place des personnes qui s'occupent du concours. Peut être quelqu'un qui va au turbin pourra confirmer ou infirmer ton avis. Mais j'ai des doutes.

Maintenant à la louche 7,8 me semblent corrects. Mais pas 5. et 6. Encore une fois, je ne t'ai peut être pas compris mais je ne vois pas comment à partir de tes équivalences tu justifies tes 2 résultats. Car quand tu as $(g^d)^k= 1$ cela n'implique pas $k=o(g).$ Il manque quelque chose que je ne vois pas.

OShine

@bd2017
Le plus petit multiple non nul de $\dfrac{n}{PGCD(n,q)}$ est $\dfrac{n}{PGCD(n,q)}$.
Je rappelle que $o(g)= \min \{ n \in \N^{*} \mid g^n = 1 \} $.

OShine

Je bloque sur Q9.a, j'ai réfléchi plus de 30 minutes, je n'y arrive pas.
J'avais déjà étudié cette question il y a 1 an ou 2 mais je me souviens avoir eu beaucoup de difficultés à comprendre le corrigé.

Amédé

Par définition de l'exposant il existe $g_i\in G$ tel que $o(g_i)$ soit divisible par $p_i^{\alpha_i}$. Donc $o(g_i)=m_ip_i^{\alpha_i}$ alors $g^{m_i}$ répond à la question.

OShine

Je ne comprends pas d'où sort le : "il existe un $g_i \in G$ tel que $o(g_i)$ soit divisible par $p_i ^{\alpha_i}$."
Je ne vois pas le lien avec la définition de $\exp(G)=PPCM( o(g) \ , \ g \in G )$.

bd2017

@Oshine pour 5 et 6.  c'est au prix d'un effort que je dois admettre que ta justification est correcte. Mais tout en restant concis, il faut que l'essentiel soit dit. 

Ce n'est pas au lecteur de deviner que tu as bien trouvé le plus petit exposant convenable.

Pour 9.a.....   Sans restreindre la généralité, prenons $i=1.$   Si on désigne par $\omega_1,...,\omega_2,...,\omega_k$ les différents ordres des éléments de $G.$   On désigne par $\tau_j,j=1,...,k$  l'exposant de $p_1$ dans  $\omega_j,j=1,....$

On sait que l'exposant de $p_1$ dans  $ppcm(\omega_1,...,\omega_k)(=\exp(G))$  est égal à $\max_{j=1,...,k}  \tau_j=\alpha_1.$ C'est à dire qu'il existe un $\omega_j, j\in[[1,k]]$  dont l'exposant $\tau_j=\alpha_1.$ Autrement dit, il existe un élément d'ordre un multiple $p_1 ^{\alpha_1}.$

Pour 9 b.  la question 7. donnera la réponse.

OShine

@bd2017
Ok merci, je crois y voir plus clair avec ton explication, je revois ça demain à tête reposée, cette question est difficile.

Amédé

L'exercice 3 est presque un copié collé d'un développement fait dans le Ketrane.

OShine

@bd2017
J'ai réussi j'y ai pensé en me levant et grâce à ton message j'arrive maintenant à faire ma propre solution de Q9.
Je la posterai en début d'après-midi.

LeVioloniste

@NicoLeProf
Beaucoup d'agrégés proposent des réponses ... Ton absence ne passe pas inaperçue ! Tu nous snobe ?

OShine

@LeVioloniste
@NicoLeProf est très fort en algèbre, s'il répond il ne restera plus grand chose pour nous  

OShine

@bd2017
9.a) $G$ est fini, notons $r$ son cardinal. Posons $G= \{g_1, \dots, g_r \}$.
On a alors $\exp(G)= PPCM( o(g_1), \dots, o(g_r) )=p_1 ^{\alpha_1} \cdots p_n ^{\alpha_n}$.
Soit $j \in \{1, \dots, r \}$. On a $g_j= \displaystyle\prod_{k=1}^n p_k ^{v_{p_k} (g_j)}$.
Or : $\forall l \in \{1, \dots, n \} \ \alpha_l = \max \{ v_{p_l} (g_j) \ | \ j \in [|1,r |] \}$.
Notons $g_{j_0}$ l'élément qui vérifie $\alpha_i= \max \{ v_{p_i} (g_j) \ | \ j \in [|1,r |] \}$
On a $\boxed{o(g_{j_0})= p_i ^{\alpha_i} \displaystyle\prod_{k=1 \\ k \ne i }^n p_k ^{v_{p_k} (g_{j_0})}=p_i ^{\alpha_i} \times d}$.
L'élément $g_{j_0}$ est d'ordre $o(g_{j_0})= p_i ^{\alpha_i} d$ avec $d$ un diviseur de $o(g_{j_0})$.
D'après Q5, l'élément $g_{j_0} ^d$ est d'ordre $\boxed{\dfrac{o(g_{j_0})}{d}= p_i ^{\alpha_i}}$.

9.b) On a montré que pour tout $i \in \{1, \dots, n \}$, $G$ possède un élément d'ordre $p_i ^{\alpha_i}$. Notons le $x_i$.
Pour tout $i,j \in [|1,n|] \ i \ne j \implies p_i ^{\alpha_i} \wedge p_j ^{\alpha_j} =1$ car $p_i$ et $p_j$ sont premiers distincts donc premiers entre eux.
D'après Q8, $x_1 \cdots x_n$ est un élément d'ordre $\exp(G)$ ce qui termine l'exercice.

OShine

@LeVioloniste
On a fini l'exercice $3$ non ? 

OShine

@bd2017
Philippe Caldéro dit qu'arriver à la question 8 donne largement l'admissibilité.
C'est bizarre quand même, ça me semble peu.

NicoLeProf

Hello tout le monde,

je n'ai pas forcément tout lu en détails mais le sujet me semble vraiment très accessible cette année (en tout cas l'écrit 1). C'est gentil OShine de me complimenter autant, je te remercie ! ^^'

Quant à mon absence de participation, je suis bien malade en ce moment : ces derniers jours (de la fièvre, une toux intempestive même si je vais quand-même bosser...) donc je suis au lit vers 21h00 - 21h30 en général !

Et j'ai d'autres choses à faire comme préparer les TD de mes L2. Donc le sujet attendra un peu. Je lirai les choses qui m'intéressent quand j'aurai du temps et un peu plus d'énergie ! ^^'

Amusez-vous bien !

OShine

C'est vrai que préparer des TD de L2 doit prendre beaucoup de temps !

LeVioloniste

@OShine
J'ai un peu laissé tombé cette partie qui ne m'intéresse guère. Je vois que tu as les idées très claires sur ce type de question.
Bravo à toi. Passons à la suite.
Personnellement je vais travailler le Sujet 2 principalement, peut-être vais-je moins intervenir.
Ce serait bien que quelqu'un poste sa rédaction de la question 9. J'aimerais bien que @gai requin ou @JLapin proposent leur solution.

OShine

J'ai déjà posté une solution très détaillée à la question $9$.
S'il y avait une faute ça fait longtemps que @bd2017 ou une autre personne du forum l'aurait signalée.

Moi la suit m'intéresse.
@LeVioloniste
Pourtant ce sujet est très intéressant, le problème est joli.

bd2017

La réponse d'@Oshine à la question 9.  me semble correcte.

NicoLeProf

La préparation de TD est très agréable (ce sont des notions que j'adore !!!) et je travaille vite donc ça ne prend pas de temps que ça. Même si mon souci majeur reste de trouver des preuves accessibles et facilement compréhensibles par les étudiants et d'anticiper leurs difficultés.

J'ai une preuve expéditive (tellement simple que je me demande si elle est juste ou si je suis trop fatigué pour faire des maths de ce niveau ^^' ) pour 9) a) que je trouve plus simple que celle d'OShine (en revanche la 9 b) est une conséquence directe de la 8 donc la preuve d'OShine est la plus optimale même si j'aurais rédigé autrement mais la rédaction est propre à chacun) : 

9. a) Raisonnons par l'absurde et supposons que $G$ ne possède aucun élément d'ordre un multiple de $p_i^{\alpha_i}$. Alors, pour tout $g \in G$, comme l'ordre de $g$ divise $\exp(G)$ mais que $g$ n'est pas d'ordre un multiple de $p_i^{\alpha_i}$, l'exposant de $p_i$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers de l'ordre de $g$ est dans l'ensemble : $\{0,...,\alpha_i-1\}$ (sinon on aurait bien un élément d'ordre un multiple de $p_i^{\alpha_i}$).

Ceci étant valable pour tout $g \in G$, l'exposant de $p_i$ dans $\exp(G)$ serait au plus égal à $\alpha_i-1$ par définition du $PPCM$, ce qui entre en contradiction avec la valeur de $\exp(G)$.

$G$ possède donc un élément d'ordre un multiple de $p_i^{\alpha_i}$ et la suite de la question découle directement de la question 5.

OShine

@NicoLeProf
En fait, même ma preuve et celle de @bd2017 sont simples, ce sont juste les notations qui sont lourdes. C'est simple, mais pas facile à rédiger avec les valuations et les indices. 
Tu peux tester sur moi, si je comprends la preuve c'est que tous tes étudiants vont la comprendre   

bd2017

@NicoLeProf ta démonstration c'est bon. Mais c'est exactement ce qu'@Oshine a écrit mais dit d'une autre façon. 

Par contre comme @Oshine le fait remarquer, les notations sont lourdes. 

Même quand  une réponse est correcte, on se doit de chercher une rédaction la plus légère possible. En effet un sujet d'agrégation c'est long. Il faut s'économiser pour pouvoir faire un maximum de questions.

NicoLeProf

Ce n'est pas sûr OShine concernant ton niveau de compréhension des preuves, ne te dévalorise pas non plus et essaie de prendre confiance en toi. Honnêtement, je trouve ça dommage que tu ne te sois pas inscrit à l'agrégation interne cette année avec tout ce que tu sais faire !

Mes étudiants sont bien plus en difficulté que toi sur des notions et des exercices élémentaires. J'ai vu (par exemple) : $3 \in a$ avec $a$ un élément de $\mathbb{Z}$. Oui, c'est surprenant... J'ai aussi vu des étudiants qui m'inventent des hypothèses dans des exercices (comme la commutativité de la loi de composition interne considérée alors que cela ne fait pas partie des hypothèses) ou un étudiant (en grande difficulté mais volontaire, celui qui m'a écrit le fameux : "$3 \in a$") qui voulait démontrer l'existence de l'élément neutre et l'associativité de la loi alors que c'étaient des hypothèses (il n'a donc pas du tout compris la consigne de l'exo en question, je suis allé le voir plusieurs fois).

On a donc fait seulement 3 exos en 3h... J'ai beaucoup individualisé, j'ai appris leurs prénoms, j'ai beaucoup expliqué... !