Une représentation pour un processus arrêté

APf

Bonjour, je suis bloqué dans l'exo suivant : soit $(X_n)$ une martingale par rapport à la filtration $\mathcal{F}_n$ et $T$ un temps d'arrêt par rapport à $\mathcal{F}_n$. Alors $X_{T\wedge n}=X_{0}+\sum_{k=1}^{n}(X_{k}-X_{k-1})\mathbb{I}_{\{T>k-1\}}$. 
- Tout ce que je peux écrire est ce qui suit : par définition on a $X_{T\wedge n}=X_{T}\mathbb{I}_{T\leq n}+X_{n}\mathbb{I}_{T>n}$,  alors pour tout $n$, on a
$X_{T\wedge n}=X_{0}\mathbb{I}_{T=0}+X_{1}\mathbb{I}_{T=1}+\cdots X_{n}\mathbb{I}_{T=n}+X_{n}\mathbb{I}_{T>N}$.
Mais je ne sais pas comment continuer, j'ai essayé de donner quelques valeurs spécifiques à $T$, par exemple $T=0,1,...$ et je peux remarquer que effectivement la somme coïncide avec l'expression que j'ai obtenue, mais je ne peux pas la déduire. De plus, pourquoi cette représentation d'un processus arrêté est-elle pertinente ?
Merci d'avance.
Cordialement,
A

APf

Quelque idée pour bien atteindre mon but ?

Positif

Soit $\omega \in \Omega$. Soit l'entier $j$ tel que $T(\omega) \in\, ]j-1, j]$. Soit $n \in \mathbf{N}$. Ta somme devient quoi selon que $n < j-1$ ou bien $n \geq j-1$ ?