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Définition de la limite (agrég externe)

Modifié (28 Jan) dans Analyse
Dans le cadre du programme de l'agreg externe, la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ valant $0$ en tout point sauf en $\frac{1}{2}$ qui est d'image $1$ admet-elle une limite en $\frac{1}{2}$ ?
J'ai vu des différences selon les ouvrages.
Mots clés:

Réponses

  • Si on utilise la définition pointée de la limite alors cette limite n'existe pas.
    Si on utilise la définition épointée de la limite alors elle vaut $0$. 
  • Justement quelle est la définition adoptée dans le programme de l'agrégation externe ?
  • Cela n'est pas précisé dans le document officiel. 
    Tant que tu es cohérent avec la définition que tu choisiras, je pense qu'il n'y aura pas de problèmes. 
  • D'accord merci. En prépa c'est la définition pointée qui est utilisée, ça me semble plus logique de prendre la même à l'agrég.
  • Modifié (28 Jan)
    Comme pour les études asymptotiques, on peut uniformiser les deux définitions en prenant une fonction définie sur une partie $A$ d'un espace topologique et un point $a$ adhérent à $A$. Alors une fonction admet une limite en $a$ si pour tout voisinage de la limite il existe un voisinage de $a$ dans $A$ qui est envoyé dans le premier voisinage évoqué. Selon que $a$ appartient à $A$ ou pas on a une limite pointée ou épointée.
    En principe, c'est à peu près à ce moment-là que @Foys bougonne et renvoie tout le monde à ses chères études en rappelant que la bonne définition passe par la notion de filtre et qu'elle inclut les deux cas possibles.
    Une chose est sûre : la définition pointée ne suffit même pas pour parler de dérivée...
  • "la définition pointée ne suffit même pas pour parler de dérivée..." ???
  • Modifié (29 Jan)
    @Math Coss merci pour l'hommage :D
    C'est plus une histoire d'avoir une seule définition au lieu de huit ou neuf différentes.
    La difficulté des élèves devant les limites provient moins du niveau d'abstraction proposé que du fait que c'est la première fois de leur vie (lorsqu'ils découvrent la notion) qu'on leur montre une alternance de quantificateurs aussi riche: ce sont des énoncés de la forme $\forall x \exists y \forall z F(x,y,z)$. Cela entraîne mécaniquement des rédactions plus sophistiquées (imaginez un combat où Alice -qui veut avoir raison-  affronte Bob qui veut qu'elle ait tort: Bob choisit hostilement $x$ et Alice veut trouver $y$ tel qu'ensuite quel que soit le $z$ choisit par Bob, Alice ait raison i.e. $F(x,y,z)$ soit vrai; une preuve est l'exposé d'une stratégie gagnante pour Alice).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Pour la dérivée, on étudie la limite en un point qui n’est pas dans le domaine de définition. Est-ce vraiment une définition pointée ou épointée ?
  • Je ne vois pas de problème pour parler de dérivée avec la définition pointée du moment où le point où on étudie la limite est adhérent au domaine de définition du taux d'accroissement. Les deux définitions coïncident lorsqu'il s'agit d'un point frontière. 
  • Je trouve très parlante l'analogie de la démonstration de $\forall x,\ \exists y,\ \forall z,\ F(x,y,z)$ avec le jeu d'Alice et Bob.
  • Modifié (29 Jan)
    C'est justement pour ça que ces querelles entre limites pointées et épointées n'ont guère d'importance : elles donnent la même chose si la fonction est continue en ce point ou si la fonction n'est pas définie en ce point (par exemple pour un taux d'accroissement), ce qui sont les cas les plus importants (on s'en fout de savoir si $1\!\!1_{\mathbb R^*}$ admet une limite ou non en 0).

    Comme d'habitude, le lien vers l'excellent texte de Daniel Perrin sur le sujet : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf
    Je n'ai toujours pas compris la phrase de @Math Coss sur le fait que les limites pointées ne permettent pas de parler de dérivée.
  • Disons que comme le taux d'accroissement n'est pas défini en le point, il faut autoriser des limites en dehors du domaine de définition. C'est peut-être officiellement autorisé dans la notion de limite pointée, auquel cas ma phrase n'est pas pertinente.
  • Modifié (29 Jan)
    Pour les limites pointées, le point doit être adhérent au domaine (ce qui est bien évidemment le cas d'un taux d'accroissement) alors que pour la limite épointée, il faut un point d'accumulation.

    Héhéhé a raison, les deux notions diffèrent uniquement sur les exemples pathologiques. Il n'empêche qu'il y a de très beaux exemples de ce genre, on peut par exemple penser à la fonction pop-corn.

    Ces querelles ont aussi un intérêt pour les historiens des mathématiques. En effet, on sait à peu près tous que la définition "formelle" de limite est apparue au dix-neuvième siècle, sous les plumes de Cauchy et Weierstrass. Et bien en réalité Cauchy utilise une définition pointée et Weierstrass une définition épointée.  :D
  • Modifié (10 Feb)
    Pour moi la limite doit préciser le domaine que la variable que l'on fait tendre est autorisée à parcourir.

    Si $a \in A$ il faut donc distinguer, notamment,  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a \, , x \in A}$ de $\,\displaystyle\lim_{x\rightarrow a \, , x \in A\setminus\{a\}}$.
    De même par exemple dans R 2 sortes de limites à gauche sont à considérer, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a \, , x < a}$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a \, , x \leq a}$. Ces limites ayant des définitions différentes, il faut s'attendre à ce qu'elles aient des propriétés différentes, et qu'un énoncé comprenant une limite épointé dans ses hypothèses, et une limite pointée dans ses conclusions, soit a priori plus délicat à démontrer que l'énoncé analogue dans lequel "pointée" et "épointée" sont permutés.... So what?

    Je ne comprends vraiment pas le psychodrame à ce sujet. Etant donné une courbe $\gamma$ dans un espace topologique E, un point $a$ de cette courbe et une fonction numérique $f$ définie dans un "tube" autour de $\gamma$, on a parfaitement le droit de considérer, à son choix et en fonction du besoin, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a \, , x \in E} f(x)$, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a \, , x \in E \setminus \{a\}}f(x)$, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a \, , x \in E \setminus \gamma} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a \, , x \in \gamma \setminus\{a\}}f(x)$, voire $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a \, , x \in \{a\}}f(x)$.
    Nul ne pense alors a parler de limite "pointée" ou pas, pas plus que "courbée", "écourbée", "courbée pointée" ou "courbée épointée" et de tartiner des pages là dessus.

    Si donc on s'autorise sans problème à ôter (ou pas) une courbe (ou tout autre partie) de l'ensemble des valeurs qu'est autorisée à prendre la variable, pourquoi ces polémiques subites lorsque lorsque cette partie est un tout bête singleton?
  • Le problème est que dans le sujet de concours la définition de la limite ne sera peut-être pas rappelée et la notation ne dira peut-être pas le domaine. 
    Donc le psychodrame, dans ce cas là, serait bien légitime « de quelle limite on parle ? ». 
  • GGGG
    Modifié (10 Feb)
    Pour éviter les psychodrames, il suffit peut-être de se souvenir de la définition générale de la limite (merci Bourbaki !) :
    La limite en un point $a$ d'un espace topologique $E$ d'une application $f$ définie sur une partie $A$ de $E$ est la limite de l'image de la trace sur $A$ du filtre des voisinages de $a$ (ce qui exige que $a$ soit adhérent à $A$ pour que cette image soit un filtre).
    En notant $\displaystyle \lim _{ x \rightarrow a} f(x)$ cette limite et  $\displaystyle \lim _{ x \rightarrow a, x \in B} f(x)$ la limite de la restriction  de $f$ à une partie $B$ de $A$, on peut exprimer tout ce qu'on veut (pour une fonction d'une variable réelle) sans se casser la tête  : 
    limitie pointée :  $\displaystyle \lim _{ x \rightarrow a} f(x)$ ,
    limite à gauche : $\displaystyle \lim _{ x \rightarrow a, x < a} f(x)$
    limite épointée : $\displaystyle \lim _{ x \rightarrow a, x \neq a} f(x)$
    etc,
    et se passer de cette terminologie qui fai pensert plutôt  à  la pétanque !
  • Ça ne résout pas le problème de « au concours, si ce n’est pas écrit explicitement, de quoi parle-t-on ? ». 
    Petite flemme d’aller chercher des sujets…
  • $\displaystyle \lim _{ x \rightarrow a, x ⩽ a} f(x)$ est une limite pointée à gauche alors que $\displaystyle \lim _{ x \rightarrow a, x < a} f(x)$ est une limite épointée à gauche ?

    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (10 Feb)
    Dom a dit :
    Le problème est que dans le sujet de concours la définition de la limite ne sera peut-être pas rappelée et la notation ne dira peut-être pas le domaine. 
    Donc le psychodrame, dans ce cas là, serait bien légitime « de quelle limite on parle ? ». 
    J'entends bien mais pour revenir à un exemple pris dans mon précédent message, personne ne se pose la question de savoir si la limite doit être prise pour $x\,$ tendant vers $a\,$ avec $x \in E$ ou avec $x\in E\setminus{\gamma}$ (que choisirais tu naturellement dans ce cas?). Donc, pourquoi spécialement se mettre à se poser la question lorsque $\gamma$ est réduite à un point ?

    En second lieu, s'il y a ambigüité, alors, il faut dans le sujet que soit précisé "de quelle" limite il est question. En l'absence de cette indication, les candidats doivent dans l'écriture des diverses limites préciser le domaine qu'ils considèrent avec leur bon sens que la variable est autorisée à parcourir (selon le principe mis en évidence par @GG et moi-même plus haut).
    Bien sûr certains des résultats à démontrer peuvent devenir faux, mais c'est alors un problème plus pour le jury que pour les candidats. Encore faut-il bien sûr qu'il ait l'honnêteté intellectuelle de considérer le problème, mais s'il ne le fait pas, c'est une faute, qui est appelée à recevoir sanction: lorsque cette précision de la limite à la fois n'est pas fournie dans l'énoncé et se révèle cruciale concernant la validité des résultats qu'il est demandé de démontrer, alors il faut que des candidats attaquent le résultat du concours en justice. Dans ce cas, assez rapidement, les énoncés fourniront l'indication du type de limite que les candidats doivent considérer...

    Encore une fois il s'agit d'un problème pour les organisateurs du concours, pas pour les candidats. Le côté indémmerdable de l'affaire vient simplement du fait qu'on se demande comment les candidats peuvent résoudre l'ambigüité alors que cette résolution n'est pas de leur ressort. C'est comme si l'énoncé considérait des limites dans un Banach de dimension infinie sans préciser si les limites qu'il évoque doivent être comprises au sens de  la topologie faible, ou au sens de la topologie forte. Si aucun renseignement n'est fourni à ce sujet, ce n'est pas aux candidats qu'incombe la tâche de lever l'ambgüité.

    Tout cela me fait penser à un autre cas d’ambigüité que l'on retrouve assez facilement en maths,  mais qui pourtant soulève bien peu l'indignation des foules: la notion de polynôme unitaire.
    Généralement, on désigne ainsi un polynôme de coefficient dominant égal à 1. Sauf que parfois apparaissent sur les ensembles de polynômes des structures euclidiennes/hermitiennes, cas où "unitaire" désigne un polynôme de norme 1.
    Donc si dans un énoncé de concours parlant de polynômes orthogonaux, il est demandé de prouver que telle propriété ou telle propriété d'un polynôme entraîne qu'il est "unitaire", que faudra-t-il démontrer exactement?

    Pour ma part, dans le cas où des structures euclidiennes/hermitiennes apparaissent, je qualifie de "moniques" les polynômes de coeff dominant égal à 1, et d'unitaires ceux de norme 1. Mais si un énoncé de concours ne précise pas de quoi il est question, alors il est vérolé et doit être attaqué.
  • Modifié (10 Feb)
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
    Sans préjuger de ce qu'en pense de son côté @GG, pour moi oui: la première limite est pointée à gauche, la seconde est épointé à gauche. 
  • DomDom
    Modifié (10 Feb)
    J’avais eu un problème une fois. Le doute dans des conditions de stress augmente. 
    Ça parlait d’adhérence. Et par exemple j’avais contradiction avec les trois assertions suivantes : 
    0) $\bar{\bar{A}}=\bar{A}$
    1) $\bar{\mathbb Q}=\mathbb R$
    2) $\bar{\mathbb R}=\{-\infty\}\cup \{+\infty \}\cup \mathbb R$

    C’est ce « 2) » dont la barre n’avait pas le même sens que les autres barres. 
  • Modifié (10 Feb)
    Le cas 0 s’écrira différemment si tu parles d’événements. :#
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (11 Feb)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Pas de problème pour définir la dérivée avec la définition pointée : $f$ est dérivable au point $x_{0}$ si et seulement si il existe une fonction $\tau_{f}$, définie sur $\mathcal{D}_{f}$ et continue au point $x_{0}$ telle que :
    \[ \forall x\in\mathcal{D}_{f},\quad f(x) = f(x_{0}) + (x-x_{0})\tau_{f}(x) \]
    Dans ce cas, la dérivée au point $x_{0}$ est $f'(x_{0}) = \tau_{f}(x_0)$, what else ?
    C'est le point de vue de Caratéodory, qui a l'avantage de fournir des preuves très élégantes des formules de dérivation usuelles (fonction inverse, somme, produit, composée...).
  • Modifié (11 Feb)
    Ainsi, si $f(x) = \frac{1}{x}$, on a $f(x) - f(x_{0}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}} = \frac{x_{0} - x}{xx_{0}}$, donc $f(x) = f(x_{0}) + (x-x_{0})\tau_{f}(x)$ en posant $\tau_{f}(x) = -\frac{1}{xx_{0}}$.
    De même si $f(x) = x^{2}$, alors $f(x) = f(x_{0}) + (x-x_{0})\tau_{f}(x)$ en posant $\tau_{f}(x) = x + x_{0}$.
    Pour les deux cas, $\tau_{f}$ est continue au point $x_{0}$, donc $f$ est dérivable au point $x_{0}$.
  • Pour la racine carrée en 0, est-ce que l'on ne perd pas la "demi-tangente" verticale avec la limite pointée et le point de vue de Benoit Rivet ?
  • Modifié (12 Feb)
    Bonjour.
    $\sqrt x-0 = 0+(x-0)\frac{\sqrt{x}}{x}$
    Et $\frac{\sqrt{x}}{x}$ n'est pas continue en 0, elle n'y est même pas définie.
    La fonction "racine carrée" n'est pas dérivable en 0; définitivement. Mais l'existence de tangentes n'implique pas la dérivabilité.
    Cordialement.
  • Modifié (12 Feb)
    Désolé Gérard, je me suis mal exprimé, ma question était plus : comment faire pour définir "naturellement" la limite de $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ avec la définition pointée.
    On risque d'arriver à "la limite n'existe pas" alors que dire que la limite est égale à \(+\infty\) est plus intéressant.
  • Modifié (12 Feb)
    Ne t'inquiète pas : aucune définition de la limite ne fera que $1/\sqrt x$ ne tend pas vers $+\infty$ en $0$.
  • Pour une valeur x où f(x) n'existe pas (mais adhérente au domaine de définition de f), les deux définitions coïncident.
  • Ok, mais qui dit que la valeur en 0 n'existe pas : je peux très bien dire que le reste s'écrit : $x\varphi(x)$ avec $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ pour $x\neq0$ et $\varphi(0)=0$.
    La limite pointée n'est plus $+\infty$, non ?
  • Modifié (12 Feb)
    D'abord, tout ce qui est dit dans ce fil suppose de toute façon que l'on restreigne les valeurs admissibles de la variable $x\,$ à un certain ensemble (ici, ${\R}_{+}$), et donc que, dans tous les cas, on ait à traiter d'une limite de la forme $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a, \, x\in A}$ pour un certain ensemble $A\,$. Et ça passe crême lorsque $A = {\R}_{+}$, mais lorsque $A={\R}_{+}^{*}$, alors là, Ô mon Dieu, les passions subitement se déchaînent et les questions fusent de toute part.

    Pour reprendre la question de @totocov, dans le cas où $\phi$ est définie en $0\,$ par $\phi(0)=0\,$, alors:

    $\displaystyle \limsup_{x\rightarrow 0, \, x\in {\R}_{+}}\phi(x) = +\infty$ et $\displaystyle \liminf_{x\rightarrow 0, \, x\in {\R}_{+}}\phi(x) = 0$, de sorte que, très naturellement, dans ce cas, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0, \, x\in {\R}_{+}}\phi(x)$ n'existe pas.

    Par contre bien sûr on a toujours: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0, \, x\in {\R}_{+}^{*}}\phi(x) =+\infty$.
  • Modifié (13 Feb)
    Ok, mais qui dit que la valeur en 0 n'existe pas

    Ton cours du collège : $\dfrac{1}a$ n'est pas défini si $a=0$.

    Évidemment, dès que tu prolonges arbitrairement $\dfrac{1}{\sqrt x}$ en $0$ pour fabriquer une nouvelle fonction $g$, tu ne peux plus écrire que $g$ tend vers $+\infty$ dans toutes les définitions des limites.

  • Merci JLapin, ton ton condescendant est très agréable.
    Mon exemple n'est là que pour montrer que la limite épointée est plus pratique dans ce cas.
    Vu la nature de tes réponses, je retourne au collège, ça me fera du bien.
  • DomDom
    Modifié (13 Feb)
    Je n’ai pas trouvé que la mention « collège » était condescendante. Je comprends cela dit qu’on l’interprète comme telle. 

    Je n’ai toujours pas compris le problème de la limite épointée pour les fonctions non définies au point où on regarde la limite puisque cela coïncide alors avec la limite pointée. 
    Ni le problème que cela pose pour la dérivée puisque le taux d’accroissement n’est pas défini au point considéré.
  • Modifié (13 Feb)
    Mon exemple n'est là que pour montrer que la limite épointée est plus pratique dans ce cas.

    Ton exemple est effectivement très pertinent mais malheureusement, on ne peut pas choisir une définition de la limite par situation sinon, on ne s'y retrouve plus.

    Merci JLapin, ton ton condescendant est très agréable.
    Vu la nature de tes réponses, je retourne au collège, ça me fera du bien.

    Je pense que tu n'as pas besoin de retourner au collège mais tu as quand même demandé pourquoi la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$ n'est pas définie en $0$. Ce n'est pas la peine de s'énerver sur la personne qui apporte la réponse.

  • Modifié (13 Feb)
    @totocov :  Réponse à ce message.
    Tu peux parfaitement le dire, mais ça ne sert à rien puisque ta fonction $\varphi$ n'est pas continue ... On ne peut pas prolonger par continuité une fonction qui a une limite infinie.
    Tu verras facilement que c'est le même cas pour toutes les tangentes verticales.
    JLapin est un peu passé à côté du problème.
    Cordialement.
    NB. Pour avoir appris la définition épointée de la limite en première et terminale, je me souviens de mon soulagement d'utiliser la limite pointée en supérieur, qui supprimait plein de cas particuliers des théorèmes (renvoyés à l'utilisateur) et coïncidait avec la définition de la continuité et plus tard, avec la topologie. Et on peut facilement épointer en prenant $\lim\limits_{x\to a; \ x\neq a}$ si nécessaire.
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