Minoration d'une proba avec $E(X)$ et $E(X^2)$

Clairon

Hello les amis
Je sèche sur cet exo.
Avez-vous une piste ?
Merci !

Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive qui admet un moment d'ordre 2 non nul.
Montrer que, pour tout $\lambda \in\, ]0,1[$, $\ P(X \geq \lambda E(X)) \geq (1-\lambda)^2 \frac{E(X)^2}{E\left(X^2\right)}.$

gebrane

Clique, comprendre er rédige une preuve en français 

LeVioloniste

Il faut distinguer 2 cas : $X \geq \lambda.\mathbb{E}[X]$ et $X < \lambda.\mathbb{E}[X]$. Les 2 cas sont des ensembles disjoints.
L'idée ici est d'utiliser la fonction indicatrice car la clé est : $\mathbb{E}[\mathcal{1}_A]=\mathbb{P}(A)$, $A$ étant un ensemble.
Si ton espace probabilisé est $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ tu as $\{w \in \Omega, X(w)\}=\{w \in \Omega, X(w).\mathcal{1}_{X(w) \geq \lambda.\mathbb{E}[X]} + X(w).\mathcal{1}_{X(w) < \lambda.\mathbb{E}[X]} \}$
Et maintenant on passe à l'espérance :
$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[X.\mathcal{1}_{X \geq \lambda.\mathbb{E}[X]}] + \mathbb{E}[X.\mathcal{1}_{X < \lambda.\mathbb{E}[X]}]$. Puis on majore les 2 espérances : 
$ \mathbb{E}[X.\mathcal{1}_{X \geq \lambda.\mathbb{E}[X]}] \leq $
$ \mathbb{E}[X.\mathcal{1}_{X < \lambda.\mathbb{E}[X]}] \leq $
Voilà il faut essayer de trouver les majorants. C'est assez facile. L'une d'entre elle avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Ensuite le fait que la loi soit discrète ne me semble pas nécessaire ...

Clairon

Génial, gebrane ton lien !
Du coup, j'ai pu mettre un nom sur l'inégalité !
https://fr.wikipedia.org/wiki/Inégalité_de_Paley–Zygmund
Mille mercis au Violoniste également !