Exercice X

bestM

Bonjour à tous.
Je vous soumets cet énoncé

Soit $A\subset \Z^n$ une partie non vide et stable par somme. On suppose qu'il existe $N\in \N$, $(\lambda_1,\dots,\lambda_N)\in [0,1]^N$ et $(a_1,\dots,a_N)\in A^N$ tels que $\sum_{i=1}^{N}\lambda_i=1$ et $\sum_{i=1}^{N}\lambda_i a_i =0$. Montrer que $0\in A$.

Je n'arrive pas vraiment à partir. je pense qu'on peut le faire par récurrence. J'essaie de la faire pour $N=2$ mais je n'arrive pas à conclure.
D'avance merci pour votre aide,
bestM

Math Coss

Il me semble qu'il suffit de produire une combinaison analogue avec les $\lambda_i$ rationnels. Pour cela on considère le sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$ engendré par les $\lambda_i$ et on en construit une base qui contient $1$. Sans garantie.

Edit : je ne sais pas faire marcher cette idée...

MrJ

Sans garantie non plus : beaucoup d'exercices de ce type peuvent se résoudre avec une récurrence sur l'entier $n\in\N^\ast$ en écrivant $\Z^{n+1}=\Z^n \times\Z$.

bestM

Merci, mais cela ne m'aide pas beaucoup. 
bestM

gebrane

Je ne voulais pas ouvrir le fil par crainte de la maladie X, Tu peux initialiser la récurrence à N=1, et je ne garantie pas la suite comme mes confrères 

Ben314159

Salut
Il me semble que la méthode suggéré par Math Cross marche bien : le système linéaire $(S)$ (d'inconnues les réels $x_i$) correspondant à $\sum x_i=1$ et $\sum x_i a_i=0$ admet, par hypothèse, au moins une solution dans ${\mathbb R}^N$ donc l'ensemble des solutions est un sous-espace affine ${\mathcal A}$ de ${\mathbb R}^N$.   
De plus, vu que les coefficients du système sont tous entiers, la résolution du système donne des équations paramétriques de ${\mathcal A}$ à coefficients rationnels ce qui montre que les points à coordonnées rationnelles de ${\mathcal A}$ sont denses dans ${\mathcal A}$.
Enfin, on sait que ${\mathcal A}$ rencontre $]0,1[^N$ (modulo de supposer que les $\lambda_i$ sont distincts de $0$ et $1$ ce qui ne coûte rien) donc ${\mathcal A}\,\cap\, ]0,1[^N$ contient au moins un point à coordonnées rationnelles ce qui permet de conclure. 

Lirone93

Pour comprendre ce qu'il se passe, je pense qu'on pourrait essayer de construire un exemple d'un tel $A$, d'un tel $N$ et de tels $\lambda_k$, qui remplissent les conditions, pour $n=4$, par exemple.

bestM

n=4, je ne vois pas. n=1 OK.
Avec les systèmes, on voit que les $\lambda_k$ sont rationnels. Mais peut-on éviter les sous-espaces affines? 

Ben314159

Les $\lambda_k$ donnés par l'énoncé ne sont pas forcément rationnels et c'est bien là que réside le problème . . .
Après, si tu n'aime pas les sous espaces affines, tu doit sans doute pouvoir peut rédiger sans utiliser cette notion : tu dit que le système $(S)$ tu l'as résolu sous la forme "variable principales = combinaison linéaire des variables libres + constantes" c'est à dire sous la forme d'une fonction $\varphi:{\mathbb R}^d\to{\mathbb R}^{N-d}$ où $d$ est le nombre de variable libres (qui est évidement une fonction affine, mais vu que tu n'a pas l'air d'aimer le mot . . .).
Ensuite, la solution du système donné par l'énoncé (avec les réels $\lambda_k$) te dit que $\varphi\big(]0,1[^d\big)$ rencontre $]0,1[^{N-d}$ donc que $]0,1[^d\cap \varphi^{-1}\big(]0,1[^{N-d}\big)$ est un ouvert non vide de ${\mathbb R}^d$ donc il contient au moins un éléments de ${\mathbb Q}^d$ ce qui te donne une solution rationnelle (et appartenant à $]0,1[^N$) au système.