Continuité de la bijection réciproque

Clairon

Il est bien connu que si $f$ est une bijection continue sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement monotone, donc $f^{-1}$ l'est également, et on montre que $f^{-1}$ est continue sur l'intervalle $J = f(I)$.

Ma question est : peut-on exhiber une bijection $f : I \to J$ et $a \in I$ tel que $f$ est continue en $a$, mais $f^{-1}$ non continue en $f(a)$ ?

Cela sent une définition avec "si $x \in \mathbb{Q}$ alors $\dots$, sinon..."
Merci pour vos réponses.

gebrane

regarde la fin de la page  de Wiki

MrJ

Le contre-exemple de la page Wikipedia ne respecte pas totalement le cahier des charges : la fonction n'est pas définie sur un intervalle.

Edit : Mille excuses ; j'ai regardé le mauvais exemple.

JLapin

Pourtant je vois une fonction définie sur tous les réels.

gerard0

Bonjour MrJ.
$\mathbb R$ est bien un intervalle.

[édit :  la suite est sans intérêt, la réciproque est bien continue en 0]
En lien avec la fin de ton message, tu peux prendre la fonction $f$ définie ainsi :
* si $x\in \mathbb Q$ alors $f(x)=x$
* si $x\not\in \mathbb Q$ alors $f(x)=2x$
définie sur l'intervalle $]-\infty,+\infty[$.
Cordialement.

MrJ

Autant pour moi, j'avais regardé un autre contre-exemple et loupé le bon sur la page Wikipedia.

Clairon

Merci les amis !

Dom

Gérard, 
c’est continu en zéro ainsi que la réciproque, non ?
(et discontinu partout ailleurs)

Édit : Je reprends l’exemple de Wiki pointe par gebrane.

$f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$
• $f$ impaire
• si $x\in 2\mathbb N$, $f(x)=\frac{1}{2} x$
• si $x \in 2\mathbb N + \mathbb 1$, $f(x)=\frac{1}{x+2}$
• si $x$ est l’inverse d’un entier plus grand que 2, $f(x)=\frac{x}{2(1-x)}$
• si $x$ non entier, $f(x)=x$
(zut ça saute…)
Cordialement

gerard0

Oui, tu as raison, Dom, la réciproque est bien continue.
Cordialement.

gebrane

Clairon  Pourquoi tu pars si vite ?. Explique nous que c'est un bon exemple

Ben314159

Salut,
Si on prend $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ définie par $x\mapsto x$ sauf,  $\ \dfrac{1}{n}\mapsto\dfrac{1}{2n}\ \ ;\ \ 2n\mapsto\dfrac{1}{2n\!+\!1}\ \ ;\ \ 2n\!+\!1 \mapsto n\ \ $ pour tout $n\!\geqslant\!1$.
Ça marche pas ?

Dom

En quel(s) réel(s) est-elle continue, dans un premier temps ?

une remarque très personnelle : définir des fonctions, ça se fait en général avec une lettre au départ et l’image de cette lettre à l’arrivée. Dans le lien WIKI et dans ta proposition, je trouve pénible de s’y retrouver notamment avec $\frac{1}{t} \mapsto …$. Même si je comprends que ça aide pour la construction…

Ben314159

Comme quoi, les avis ne sont pas forcément les mêmes (et c'est très bien comme ça : je ne suis absolument pas pour la pensée unique . . .)
En ce qui me concerne, entre : 
1) On prend $x\mapsto \dfrac{1}{2n}$ lorsque $x$ est de la forme $x\!=\!\dfrac{1}{n}$ ;  $n\!\geqslant\!1$ entier 
2) On prend $\dfrac{1}{n}\mapsto \dfrac{1}{2n}$  pour tout  $n\!\geqslant\!1$ entier.
Je trouve le 2) non seulement plus court à écrire, mais aussi plus facilement lisible.

Dom

Ha oui je n’aime ni l’un ni l’autre. 

Je déteste le 1). 

Je préfère le 2) au 1). 

Mais l’idéal pour moi est le 3). 

3) si $x$ est l’inverse d’un entier naturel non nul, alors $x\mapsto \frac{1}{2} x$. 

Pour conforter mon argument, c’est comme si on disait $\cos(x) \mapsto \ln (x)$ pour $x$ dans…