Geometri Günlüğü Problem 30 (Turquie)

Ludwig
Modifié (27 Jan) dans Géométrie
Bonsoir !
Prouver que $\frac{1}{AF}=\frac{1}{AE}+\frac{1}{AD}$.
Moins connu que la construction de droite, où l'on a $1/y=1/x+1/z$.

Réponses

  • cailloux
    Modifié (27 Jan)
    Bonsoir,
    Il faudrait préciser les choses mais il me semble que c'est faux.
    [Edit] Je n'ai rien dit. Désolé.
  • Salut,
    Ça marche pas avec un peu de trigo : $\alpha\!=\!\widehat {AFE}\ \Rightarrow\ \dfrac{\sin(\alpha)}{AE}\!=\!\dfrac{\sin\big(\frac{2\pi}{3}-\alpha\big)}{AF}$ et $\dfrac{\sin(\pi\!-\!\alpha)}{AD}\!=\!\dfrac{\sin\big(\alpha-\frac{\pi}{3}\big)}{AF}$ ?

  • Si. Mais plus personne ne connait l'existence de la loi des sinus ou des formules de trigonométrie. Une banale démonstration thaléso-pythagoricienne serait la bienvenue.
  • Ben314159
    Modifié (27 Jan)
    La loi des sinus, ça se démontre en une ligne avec les aires des triangles, donc il suffit de recopier le preuve dans le contexte présent, non ?
  • Absolument. Mais il s'agit là d'une loi générale. Les formules de trigo aussi faut les démontrer. Y a-t-il plus direct ? (je n'en sais rien)
  • Soit $a=AC=CB=BD=DA=AB$. D'après Thalès, $\frac{FB}{FA}=\frac{BD}{AE}$ donc $\frac{a-FA}{FA}=\frac{a}{AE}$, d'où l'égalité demandée.
  • alphapi
    Modifié (27 Jan)
    Bonsoir à tous
    Quelques rotations et deux dessins ...

  • Ludwig
    Modifié (27 Jan)
    Merci @JLT, la démo est donc accessible en troisième. À partir de ma figure en tous cas, car celle proposée par Abdilkadir ALTINTAŞ est moins facile : 
    Ok pour tes rotations @alphapi, mais ta seconde figure me paraît un peu mystérieuse.. Nous devons être sortis du monde thaléso-pythagoricien.
  • @Ludwig La seconde figure montre que la moyenne harmonique ne dépend pas de la distance AC ( sur ta figure ) en comparant les segments  rouges et bleus verticaux, puis qu'une rotation identique sur les trois segments rouges conserve la moyenne.
  • Ludwig
    Modifié (27 Jan)
    Ah oui d'accord ! J'ai compris, en disant ça tu te réfères à la figure de droite de mon post initial, et tu relies ma figure de gauche avec ta première figure où il y a les rotations, et donc avec ma figure de droite. Bien joué !
  • JLT
    JLT
    Modifié (27 Jan)
    On peut aussi utiliser une inversion de pôle $P$ + triangles isométriques.

  • $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles ? Il ne faut pas le démontrer ? 

  • gipsyc
    Modifié (28 Jan)
    Bonjour
    Un petit rappel des constructions classiques donnant
    1/x = 1/a + 1/b = (a+b)/(ab)

    Le problème présenté ici correspond directement au troisième schéma ... ou comme signalé par αlphapi, au premier, en complétant par quelques triangles équilatéraux.
    En continuant le schéma de alphapi, on construit un trapèze isocèle de bases DG et EH qui classiquement donne le même rapport 1/AF = 1/DG + 1/EH également sans la moindre trigonométrie.
    Cordialement,
    Jean-Pol
  • @OShine a écrit :
    $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles ? Il ne faut pas le démontrer ?
    Si bien sûr, je t'invite à le faire, c'est facile.
  • Ludwig
    Modifié (28 Jan)
    En partant de trois droites concourantes formant des angles de $60°$ on peut répéter cette construction pour obtenir l'inverse d'une somme de plusieurs inverses :

    Les points bleus sont variables sur des demi-droites d'origine $O$ et on a :
    $1/OC=1/OA+1/OB$, 
    $1/OE=1/OD+1/OB+1/OA$, 
    $1/OG=1/OF+1/OD+1/OB+1/OA$, etc.
  • Une autre construction avec des carrés emboîtés : $1/c=1/a+1/b$.

  • Version équilatérale :

  • La construction précédente se généralise aux triangles isocèles :


  • pappus
    Modifié (29 Jan)
    Bonjour à tous
    Il faut reconnaitre que la démonstration de $JLT$ est la plus économique puisqu'elle ne fait appel qu'à la géométrie affine, (axiome de Thalès).
    Dans le même état d'esprit, on rapporte le plan au repère affine $\{A;(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\}$.
    J'utilise les notations de Ludwig
    Dans ce repère, la droite $EF$ a pour équation; $\dfrac x{\overline{AF}/\overline{AB}}+\dfrac y{\overline{AE}/\overline{AC}}=1$.
    La droite $EF$ passe par le point $D$ qui dans ce repère a pour coordonnées $(1,-1)$.
    D'où la relation : $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AF}}-\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AE}}=1$$ $CQFD$
    Amicalement
    pappus
  • Bonjour à tous 
    Autre méthode un peu cuistre en ces temps où la géométrie projective a disparu corps et biens, utiliser le fait que l'application $F\mapsto E$ est une homographie de la droite $AB$ sur la droite $AC$ (car c'est une projectivité (quesaco?) de pôle $D$).
    Amicalement
    pappus
  • La construction à la règle et au compas relative au problème 30 est certainement la plus économique pour obtenir le nombre $z$ tel que $1/z=1/x+1/y$, deux cercles et trois droites seulement : 
    Cette construction n'est valable que si $E$ est sur la demi-droite $[AC)$. Sinon, le nombre ci-dessous ne dépend pas de la position de $E$ sur l'autre demi-droite. Exprimer ce nombre en fonction de $AB$ :

  • Ma question est mal posée, et de plus il n'y a pas vraiment de problème : on a cette fois $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AF}+\frac{1}{AB}$.
  • Tonm
    Modifié (30 Jan)
    Salut, ou bien pour la figure avec le Problem 30.

    $x\times PA\times \sin(\alpha)+x\times PB\times\sin(\beta)=PA\times PB\times \sin(\alpha+\beta)$ comme égalité d'aires. Merci
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