Prouver l'injectivité d'une paramétrisation

iotala

Bonsoir

Soit une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^3$ définie par $h(t) = \big(x(t), y(t), z(t)\big)$ avec
$x(t) := (3+\cos(10t)) \cdot \cos(t)$
$y(t) := (3+\cos(10t)) \cdot \sin(t)$
$ z(t) := \sin(10t)$

Je dois prouver que $h(t)$ est injective et que c'est une immersion. 

Que ce soit pour la fonction ou sa différentielle, je ne vois pas comment prouver l'injection : $x(t), y(t)$ et $z(t)$ ne sont pas individuellement injectives, donc je suis sans indice.
Pourriez-vous me donner un coup de pouce ?

bd2017

Bonjour. Un bon conseil: il faut revoir ton cours et corriger la question car ici $h$ n'est pas injective.

Visiblement tu ne sais pas ce qu'est une immersion.

Poirot

Tes coordonnées sont $2\pi$-périodiques donc ta fonction ne risque pas d'être injective.

iotala

La question posée dans l'exercice est : "Montrer que cette fonction est une immersion dont la restriction à $|0,2\pi[$ est injective".

Je sais qu'une fonction est une immersion si sa différentielle est injective.

Concernant le fait que mes coordonnées soient $2\pi$-périodiques, cela est dû aux produits de fonctions périodiques (ayant différentes périodes) ? Peut-on en conclure l'injectivité sur  $|0,2\pi[$ ?

bd2017

Ce n'est pas $h$ qui doit être injective mais sa différentielle  (en tant qu'application linéaire). C'est pour cela que ta question n'a pas de sens.
Il faut donc calculer la différentielle et vérifier qu'elle est injective.
Ensuite à mon avis la restriction à un intervalle ne joue aucun rôle dans la question.
Pour toi comprendre, tu es dans la même situation que cet exemple plus simple:
$$h: \R \rightarrow \R^2 ,\quad t\mapsto h(t)=(\cos(t),\sin(t)). $$

Math Coss

Poirot

La question demande de montrer que $h$ est elle-même injective sur $]0, 2\pi[$, ce qui est facile à montrer. Ensuite, il faut montrer que la différentielle (qui n'est rien d'autre que la dérivée dans ce cas) est elle-même injective sur cet intervalle, ce qui se montre de manière similaire. Qu'est-ce qui te gêne pour commencer ?

iotala

Je suis bloqué sur l'injection de h. Montrer qu'une fonction de type $(\sin (t), \cos(t))$ est injective sur $[0, 2\pi[$ est aisée car on est sur un cercle. Mais je ne vois comment pas comment le justifier pour h

gerard0

Comment montrer que h (réduite au bon intervalle est injective ? Ben ... comme d'habitude ! Tu pars de $h(t)=h(u)$ et tu résous ...
Bon travail !

GaBuZoMeu

Bonjour,

Raisonnons en coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$. On a $r=3+\cos(10t)$ qui est strictement positif pour tout $t$, $\theta=t$, $z=\sin(10t)$. Il suffit de regarder l'angle polaire pour voir que la paramétrisation est bien injective sur $[0,2\pi[$.

On voit aussi que la composante de la vitesse dans le plan radial n'est jamais nulle (sa norme est $10$), et donc la paramétrisation est bien une immersion.

bd2017

Que fait-on du point en $t=0?$   En particulier avec la définition d'une immersion.

GaBuZoMeu

La paramétrisation est définie sur $\mathbb R$, donc pas de problème !

bd2017

Oui c'est une façon d'éluder ma question. 

GaBuZoMeu

Non, c'est ta question qui est à côté de la plaque. Je rappelle l'énoncé ; "Montrer que cette fonction [celle définie sur $\R$] est une immersion dont la restriction à $[0,2\pi[$ est injective".

bd2017

Je vois de l'impolitesse et en retour je peux dire que c'est toi qui est à côté de la plaque de feindre de pas voir les problèmes de l'injectivité que rencontre celui qui pose la question.

GaBuZoMeu

Ècoute, ce n'est pas grave de ne pas avoir lu l'énoncé. Je ne vois pas pourquoi tu ne veux pas le reconnaître et tu en fais tout un plat.

gebrane

Comme a dit Poirot et gerard on peut traiter l injection avec la définition: si $h(t)=h(s)$ on déduit 
$\tan(t)=\tan(s)$ ce qui implique puisque on est sur $[0,2\pi[$, $t=s+k\pi$ avec $k=0,1, -1$. Puis on vérifie que $k=1$ ou $-1$ mènent à la contradiction $\cos(t)=\sin(t)=0$.

GaBuZoMeu

J'ai essayé de donner une vision cinématique, d'ailleurs illustrée par le dessin de @Math Coss : composition de la rotation uniforme du demi-plan radial et d'un mouvement circulaire uniforme dans ce demi-plan radial ouvert (sans l'axe). Pour moi c'est parlant et ça répond aux questions, pour d'autres sans doute aussi. Pour la personne qui pose la question, je ne sais pas ...

gebrane

La question demande l'injection de $f'$ sur $\R$ ou sur $[0,2\pi[$  ?

Math Coss

L'injectivité ?

gebrane

L'injectivité car @Poirot dit il faut montrer que la différentielle est elle-même injective sur cet intervalle et @GaBuZoMeu dit "Montrer que cette fonction [celle définie sur R] est une immersion

GaBuZoMeu

Il suffit de se donner la peine de lire l'énoncé. Je ne vais pas le répéter une nouvelle fois.

gebrane

Et pourquoi tu ne prends pas une peine de plus en souvenir du pauvre gebrane , pour me répondre car poirot se restreint à |0,2\pi[

gerard0

L'énoncé précis est ici. Il y a deux questions.
Cordialement.

gebrane

Merci gerard, quelqu'un alors  sait comment prouver avec la définition donc que f' est injective sur R 

GaBuZoMeu

Ce n'est pas ce qui est demandé, et heureusement car c'est visiblement faux puisque $f$ est périodique.

gebrane

bizarre bizarre,   j'interprète cette phrase  Montrer que cette fonction est une immersion dont la restriction à |0,2π[ est injective,
par Montrer que f est une immersion puis que sa restriction sur |0,2π[ est injective

bisam

Et c'est exactement ce qu'il faut prouver !

Heureusement, cela ne signifie pas non plus que la fonction $f'$ est injective... car c'est faux également !

En fait, il faut démontrer que la différentielle en tout point est injective... et ici, la différentielle en tout point $t$ est l'application $h\mapsto hf'(t)$ qui est injective si et seulement si $f'(t)\neq 0$. Donc il faut juste prouver que $f'$ n'est jamais nulle !

gebrane

Merci bisam, ca fait longtemps que je n'ai pas travaillé la géométrie différentielle 

MrJ

@bisam : Merci pour cette clarification ! J’allais poster la même chose en me demandant au passage si mes souvenirs de géométrie différentielle étaient si rouillés que ça…

gebrane

Sans l'intervention de Bisam, cette question serait restée un mystère pour moi.