Fonction à plusieurs variables dans $\R$

M4d

M4d

Je bloque sur la question 1 a )

JLapin

Tu peux utiliser l'inégalité $a^2+b^2\geq 2ab$ pour minorer le dénominateur de la fraction que tu cherches à majorer.

Poirot

$$\frac{y^3 - yx^4}{x^4+y^2} - y = \frac{y^3 - yx^4 - yx^4 - y^3}{x^4+y^2} = \dots$$

Dom

Quand on cherche cette majoration on voit qu’il suffit de démontrer que pour les couples non nuls :
$\frac{2yx^2}{x^4+y^2}\leq 1$ (en détachant le $x^2$ du $x^4$ au numérateur après avoir tout mis sur le même dénominateur) 

cela revient à démontrer que pour ces couples non nuls : 
$2yx^2\leq x^4+y^2$

et ça, c’est en fait une identité remarquable « cachée » : 
$2ab \leq a^2+b^2$.

[Étrange : hier, les messages de JLapin et Poirot que je salue, n’apparaissent pas sur mon téléphone]

M4d

Mr Poirot vérifiez ce que j'ai fait

JLapin

Tu n’as plus qu’à lire les autres messages 

M4d

Ok d'accord pas Mr JLapin

M4d

Je lis mais jusque-là je n'arrive pas à comprendre l'inégalité 2ab ≤ a² + b²
je n'arrive pas démarer

gerard0

Bonjour.

"Je lis mais jusque-là je n'arrive pas à comprendre l'inégalité 2ab ≤ x² + y²"
Moi non plus ! Par contre 2xy ≤ x² + y² ou 2ab ≤ a²+b² ne me posent aucun problème, puisque c'est un classique de la classe de seconde ($(x+y)^2\ge 0$ et $(a+b)^2\ge 0$).

Cordialement.

JLapin

Relis calmement, attentivement et avec un papier et un stylo le message suivant
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2463388/#Comment_2463388

M4d

Ok d'accord compris Mr gerard0

M4d

JLapin je vais vous revenir 

M4d

Mr JLapin j'aimerais poser une question svp ?
La valeur absolue que j'ai | f₂( x,y ) - y | ≤ x² 
C'est la même chose pour la classe de seconde ?
Vu que sur les inéquations avec valeurs absolue.

gerard0

Oui, c'est en général en seconde qu'on rencontre sérieusement les valeurs absolues (en quatrième, à mon époque). Les règles vues en secondes sont les règles des maths, donc utiles à tous les niveaux.

NB. Pas de Mr, s'il te plaît, gerard0 n'est qu'un pseudo.

M4d

Ok d'accord 
C'est que | f₂ ( x, y ) - y | ≤ x² 
( ( y³ ⁻ yx⁴ ) / x⁴ +y² )^2 - (x²)^2 ≤ 0

M4d

C'est le début vérifié si je peux continuer et je pense que c'est ce qu'on nous [a] appris en seconde 
Un exemple : | 2x- 3 | ≤ 4 <==> ( 2x - 3 ) ^2 - 4^2 ≤ 0.

gebrane

passe à la question b

M4d

Ok j'ai des difficultés avec le développement limité de Taylor, le prof a fait la partie de développement limité en mon absence, donc je n'arrive pas à m'en sortir.
J'ai pleinement besoin qu'on me guide.

gebrane

Clique sur gebrane 

M4d

Gebrane j'ai obtenu des connaissances à partir de votre lien

gebrane

Je suis hypercontent de t'avoir appris comment chercher une information sur le net avec un moteur de recherche.

M4d

Bonjour , j'ai pu comprendre connaissance de développement limité mai je ne sais pas quelle formule utiliser car il y a plusieurs formules et j'ai vu aussi d'autres exemples de développement limité avec les fonctions usuelles.
Comment faire ?

M4d

Bonjour je trouve comme résultat du développement limité de f₂ : y^4 + y^3 - y

gebrane

Lol le $x$ a disparu, j 'ai demandé à ChatGPT de m'aider, voici sa réponse.

Pour développer une fonction à deux variables autour du point $(0,0)$ à l'ordre $1$, on peut utiliser le développement limité suivant.
Soit une fonction $f(x, y)$, le développement limité à l'ordre $1$ autour du point $(0,0)$ est donné par : $$f(x, y) \approx f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \cdot y,$$ où :
- $f(0,0)$ est la valeur de la fonction au point $(0,0)$.
- $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ est la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ évaluée en $(0,0)$.
- $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ est la dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ évaluée en $(0,0)$.

Ce développement approxime la fonction $f(x, y)$ autour du point $(0,0)$ en utilisant la valeur de la fonction et ses dérivées partielles premières au point $(0,0)$.

M4d

Merci beaucoup je vais travailler en fonction de votre explication, et je vais vous revenir 

JLapin

Bonjour je trouve comme résultat du développement limité de f₂ : y^4 + y^3 - y

En fait, 1a) te donne la réponse puisque $x^2$ est un petit $o$ de $(x,y)$ quand $(x,y)$ tend vers $0$.
Il est alors inutile de calculer des dérivées partielles.

M4d

JLapin j'ai du mal à comprendre votre réponse 

gebrane

M4d Je suis comme toi, je ne comprends pas ce que signifie   un petit $o$ de $(x,y)$ je connais seulement  $o(\sqrt{x²+y²})$

JLapin

La notation $o((x,y))$ est assez couramment utilisée à la place de $o(\|(x,y)\|)$ pour alléger les notations.

M4d

Ok d'accord 👍 

gebrane

Je ne connais pas cette notation. Peux-tu Jlapin expliquer ta méthode pour déduire le dl

JLapin

La première question permet d'obtenir $f(x,y) =f(0,0)+ y+o(\|(x,y)\|)$ et $(x,y)\mapsto y$ est linéaire.

gebrane

Joli comme raisonnement

M4d

o( || ( x, y) || ) signifie quoi svp 

gebrane

C'est $\sqrt{x^2+y^2}\varepsilon(x,y)$ avec $\varepsilon(x,y)$ tend vers $0$ en $(0,0)$.

M4d

Ok