Exercice intégrale impropre

mathix00

Bonjour,
j'ai essayé de résoudre un exercice sur les intégrales impropres, c'est bon pour le cas $f''$ intégrable, mais je bloque pour la suite.
Montrer que : $$\int_0^{+\infty} f(t) \sin (x t) d t=\frac{f(0)}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right) .$$
On pourra commencer par traiter le cas où $f^{\prime \prime}$ est intégrable.

On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^3$ et que $f^{\prime \prime}$ est intégrable. Montrer que :
$$\int_0^{+\infty} f(t) \sin (x t) d t=-\frac{f^{\prime}(0)}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right) .$$ Peut-on affaiblir les hypothèses ?

gebrane

Je pense que tu supposes que la limite quand \( t\) tend vers l'infini de \( f (t)\) est nulle. Par une intégration par parties, tu obtiens ton intégrale égale à

$\frac{f(0)}{x} + \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} f'(t) \cos(x t) \, dt$

Pour appliquer le critère de Lebesgue-Riemann, il suffit que \( f' \) soit intégrable pour montrer que $\int_0^{+\infty} f'(t) \cos(x t) \, dt$ tend vers 0 quand x tend vers l infni

JLapin

@mathix00

Si $f$ est la fonction constante égale à $1$ (donc de dérivée seconde intégrable) ton intégrale impropre est trop souvent divergente pour que ton énoncé ait un sens.

Pourrais-tu nous envoyer l'énoncé complet et au passage dire vers quoi tend $x$ ?

gebrane

Tu as raison d'insister sur les hypothèses, JLapin. J'ai supposé que \(f\) et \(f'\) sont intégrables sur \([0, +\infty[\), \(f\) est dérivable, et \(\lim_{{t\to +\infty}} f(t) = 0\).

mathix00

@JLapin Voici l'énoncé complet,$ x$ tend vers +$\infty$ :

Soit $f \in \mathcal{C}\left(\mathbb{R}_{+}, \mathbb{R}\right)$ telle que $f$ et $f^{\prime}$ soient intégrables.

1. Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{ } 0$.

2. Montrer que:

$\int_0^{+\infty} f(t) \sin (x t) d t=\frac{f(0)}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right) .$

On pourra commencer par traiter le cas où $f^{\prime \prime}$ est intégrable.

3. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^3$ et que $f^{\prime \prime}$ est intégrable. Montrer que :

$\int_0^{+\infty} f(t) \sin (x t) d t=-\frac{f^{\prime}(0)}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right) .$

Peut-on affaiblir les hypothèses?

gebrane

Puisque ton prof ne suppose pas que f est dérivable, il veut dire par $f$ et $f'$ intégrables sur $\R^+$ par $f\in W^{1,1}(\R^+)$ ?

mathix00

@gebrane je suis en prépa, je n'ai pas vu cette notation.

gebrane

Merci d'avoir précisé ton niveau, prière de préciser ton énoncé que $f$ est dérivable sur $\R^+$.
Pour ceux qui connaissent l'espace \(W^{1,1}(\mathbb{R})\),  s'injecte dans les fonctions continues de limite nulle à l'infini. La solution que je t'ai proposée ne convient pas à ton niveau, puisque tu ne connais pas le théorème de Riemann-Lebesgue. Je te laisse avec Jlapin il est spécialisé dans le prépa.

JLapin

Pour q2) dans le cas où $f$ est de classe $C^1$, on se ramène après intégration par parties à montrer que

$$u(x)=\int_0^{+\infty} f'(t)\cos(xt)dt\underset{x\to +\infty}\to 0.$$
Il te suffit alors de vérifier que la suite de fonction $(u_n)$ définie par $$u_n(x) = \int_0^n f'(t) \cos(xt)dt$$ converge uniformément vers $u$ (sur $\R$ par exemple) et d'utiliser ensuite le théorème de la double limite.

Il te faudra alors vérifier que $u_n(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Le cas où $f'$ est de classe $C^1$ se traite facilement par IPP et le cas ou $f'$ est seulement continue se traite classiquement par approximation uniforme, soit par une fonction polynomiale (donc de classe $C^\infty$), soit par une fonction en escalier (dans ce cas, l'intégrale se calcule explicitement).

gebrane

mathix00
Une curiosité, comment as-tu démontré le 1)