Distances équivalentes

elouadih

Bonjour.
J'ai une question, sur un métrique compact $(E,d)$.
$\phi$ définie de $E$ dans $\R^{+}$ fonction continue, nulle en les points isolés.
On définit $\gamma(x,y)=d(x,y)+ \phi(x)+\phi(y)$ si $x\neq y$ et $\gamma(x,y)=0$ sinon.
Je cherche à montrer l'existence d'un réel positif $\alpha$ tel que $$\forall x, y \in E,\quad \gamma(x,y) \leq \alpha d(x,y) .$$
J'ai considéré une fonction $h(x,y)=\dfrac{\phi(x)+\phi(y)}{d(x,y)}$ pour que $\alpha$ soit  le maximum global de $h$ mais le problème [est] que $h$ [est] définie sur $E^{2} -∆$ ?

gebrane

Ton inégalité ne peut être  vraie que si $\phi$ est identiquement nulle. 
Cordialement Farceur 

elouadih

@gebrane $\phi$ non identiquement nulle, l'objectif de l'exercice est de construire une distance équivalente à $d$ si $\phi$ est nulle rien de nouveau.

gebrane

Bah, si ton inégalité est vraie alors
$\forall x \in E, \; d(x,x)+ \phi(x)+\phi(x) \leq \alpha d(x,x)$

elouadih

Merci pour la remarque, alors je modifie sur l'énoncé 

gebrane

Bah, toujours le même problème. Pour x fixé, tu passes à la limite quand $y\to x$.

elouadih

😓

elouadih

L'exercice tel qu'il est maintenant 

JLapin

Ca ne fonctionne toujours pas : tu peux envisager de faire tendre $y$ vers $x$ par valeurs différentes.

Tu ne veux pas plutôt nous donner le contexte plus général de ton petit lemme ?

gerard0

Bonjour.

Prenons un exemple :  $E=[0,1]$ avec la distance euclidienne habituelle ; pas de point isolé. $\phi$ est la fonction constante égale à 1, qui est bien continue. Combien vaut $\alpha$ ?
Cordialement.

NB : n'y aurait-il pas une erreur de signe dans cet énoncé ?

gebrane

Tu n'as pas par hasard un moins entre les $\phi$ au lieu d'un plus

gerard0

On a la même idée !

elouadih

Il y a peut-être une erreur dans cet énoncé, mais pas un moins car $\gamma$ doit être une distance (pour la séparation).

JLapin

l'objectif de l'exercice est de construire une distance équivalente à d

Tu peux nous donner précisément l'énoncé de l'exercice ?

elouadih

Voici l énoncé 

gebrane

Cet exercice est une farce de ton prof

elouadih

Hahahaha  il me fait mal a ma tête