Concours à quatre

jelobreuil
Modifié (21 Jan) dans Géométrie
Bonne nuit à tous
Soit un triangle $ABC$ et un cercle centré en $A$. Les quatre tangentes à ce cercle issues de $B$ et $C$ touchent celui-ci en $K$, $L$, $M$ et $N$, et se coupent deux à deux en $D$, $E$, $F$ et $G$. Montrer que les quatre droites $DF$, $EG$, $KM$ et $LN$ sont concourantes.
Bien cordialement, JLB
Edit : en fait, il y a seulement besoin de trois points $A$, $B$ et $C$ ...  et vu ainsi, ce doit être un classique du quadrilatère complet, non ?

Réponses

  • Bonsoir,

    Avec Morley circonscrit:
    % Jelobreuil - 21 Janvier 2024 -  concours à quatre
    
    clc, clear all, close all
    
    syms k l m n
    
    kB=1/k; lB=1/l; mB=1/m; nB=1/n;  % Conjugués (Morley circpnscrit)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    [d dB]=IntersectionDeuxDroites(lB,l,-2,mB,m,-2); 
    % On trouve d=2*l*m/(l+m) et dB=2/(l+m)
    % De même:
    e=2*k*l/(k+l); f=2*k*n/(k+n); g=2*m*n/(m+n);
    eB=2/(k+l); fB=2/(k+n); gB=2/(m+n);
    
    [p q r]=DroiteDeuxPoints(d,f,dB,fB); % Droite (DF)
    Fact=(k+n)*(l+m)/2; % Facteur de simplification
    p=Factor(Fact*p); q=Factor(Fact*q); r=Factor(Fact*r);
    % On trouve:
    p(l,m,k,n)=l-k+m-n;
    q(l,m,k,n)=k*l*m-k*l*n-k*m*n+l*m*n;
    r(l,m,k,n)=2*(k*n-l*m);
    % De même pour les droites (EG), (KM) et (LN)
    
    DteDF=[p(l,m,k,n) q(l,m,k,n) r(l,m,k,n)];
    DteEG=[p(k,l,m,n) q(k,l,m,n) r(k,l,m,n)];
    DteKM=[1 k*m -k-m];
    DteLN=[1 l*n -l-n];
    
    Nul1=Factor(det([DteDF; DteEG; DteKM]))
    Nul2=Factor(det([DteDF; DteEG; DteLN]))
    % On trouve Nul1=Nul2=0, donc (DF), (EG), (KM) et (LN) sont concourantes
    % Point de concours
    [Pt PtB]=IntersectionDeuxDroites(1,k*m,-k-m,1,l*n,-l-n);
    Pt=Factor(Pt)
    % On trouve Pt=(k*l*m-k*l*n+k*m*n-l*m*n)/(k*m-l*n)
    Cordialement,
    Rescassol

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