Trois cercles égaux

jelobreuil
Modifié (21 Jan) dans Géométrie
Bonjour à tous,
Soit $ABC$ un triangle, $A'$ et $A''$ les points symétriques de $A$ par rapport, respectivement, aux bissectrices intérieures des angles $B$ et $C$, et $B'$, $B''$, $C'$ et $C''$ définis de même, circulairement. 
Pourquoi les rayons des cercles $AB'C''$, $BC'A''$ et $CA'B''$ sont-ils égaux ?
Bien cordialement,  JLB

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (21 Jan)
    Bonjour,

    $a,b,c$ étant les longueurs des côtés du triangle $ABC$ et $S$ son aire, je trouve pour valeur commune aux carrés des trois rayons $R_a^2=R_b^2=R_c^2=\dfrac{a^2b^2c^2}{16S^2}-\dfrac{abc}{a+b+c}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (21 Jan)
    Bonjour,

    De plus, les triangles $ABC$ et $O_aO_bO_c$ sont en perspective, le perspecteur étant $X_{104}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Merci, Rescassol, de ces précisions !
    Bien cordialement, JLB
  • Rescassol
    Modifié (21 Jan)
    Bonjour,

    Une meilleure expression:

    $R_a^2=R_b^2=R_c^2=R^2-2Rr$, où $R$ et $r$ sont les rayons des cercles circonscrit et inscrit au triangle $ABC$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • jelobreuil
    Modifié (21 Jan)
    Merci Rescassol !
    En regardant les valeurs des angles des deux triangles $ABC$ et $O_AO_BO_C$, je constate que l'angle en $O_A$ est égal à la demi-somme des angles en $B$ et $C$, et permutation circulaire ...
    Comment expliquer cela ?
    Bien cordialement, JLB
     
  • Rescassol
    Modifié (21 Jan)
    Bonsoir
    Les trois cercles de même rayon recoupent le cercle circonscrit en $A_1,B_1,C_1$.
    Les droites $(A_1O_a),(B_1O_b),(C_1O_c)$ sont alors parallèles, c'est à dire sont concourantes en un point à l'infini qui est l'isogonal du perspecteur $X_{104}$ ci-dessus par rapport au triangle $ABC$.
    A part ça, Jelobreuil, je ne sais pas ce que tu veux dire par "Pourquoi ..." ou "Comment expliquer celà ...".
    Pour moi, on le démontre ou non, on n'explique pas pourquoi.
    Cordialement,
    Rescassol
  • jelobreuil
    Modifié (21 Jan)
    Merci beaucoup de cette nouvelle observation, Rescassol !
    A part ça, je reconnais volontiers que ma manière de poser des problèmes n'est qu'une coquetterie ou une fantaisie née du désir de varier un tant soit peu le vocabulaire, mais ne peut-on concevoir qu'une démonstration, surtout en géométrie classique, soit une forme codifiée d'explication de faits que l'on a constatés ?
    Bien cordialement, JLB
  • Rescassol
    Modifié (21 Jan)
    Bonsoir,

    Pour les angles, je trouve $\cos^2\left(\widehat{BIC}\right)=\cos^2\left(\widehat{O_bO_aO_c}\right)=\dfrac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}$, où $I$ est le centre du cercle inscrit.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Merci encore, Rescassol ! En effet, la relation que tu indiques correspond bien à mon observation, et j'avoue ne pas avoir cherché de lien expliquant cette relation entre angles : j'aurais dû réaliser que dans ma figure, il y a de toute évidence un angle qui a quelque chose à voir avec cette demi-somme des angles en B et C du triangle ABC ! Au temps pour moi !
    Bien cordialement, JLB
  • Bonjour,

    Une autre formule: $Aire(O_aO_bO_c)=\dfrac{abc(a+b+c)}{16 Aire(ABC)}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (22 Jan)
    Bonjour
    Une figure un peu plus complète:

    Cordialement,
    Rescassol
  • pappus
    Modifié (22 Jan)
    Bonjour à tous
    D'après mes lointains souvenirs et la relation d'Euler:
    $$R^2-2Rr=d^2=OI^2$$ avec $I=X(1)$ et $O=X(3)$.
    Donc $$R_a=R_b=R_c=d$$
    Il devrait y avoir une preuve synthétique.
    Amicalement
    pappus

  • Rescassol
    Modifié (22 Jan)
    Bonjour,

    D'ailleurs, le cercle circonscrit au triangle $O_aO_bO_c$ est de centre $I$ et de même rayon que le cercle circonscrit au triangle $ABC$, à savoir $R=\dfrac{abc}{4 Aire(ABC)}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • jelobreuil
    Modifié (22 Jan)
    Bonsoir Pappus, Rescassol, et tous,
    Merci de ces indications, je vais chercher un peu de mon côté ...
    Bien amicalement, JLB
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