Espace vectoriel

samo12
Modifié (20 Jan) dans Algèbre

Bonjour,
j'ai une question (un peu bête) sur les espaces vectoriels. En effet, quand on définit un espace vectoriel, on se donne  deux lois une interne et l'autre externe. Est ce que ces deux lois sont toujours l'addition et la multiplication par un scalaire ?
Merci de m'éclairer.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (20 Jan)
    Bonjour.
    Les lois sont ce qu'on veut, pourvu que les règles soient respectées. Mais on les appelle "addition" et "multiplication par un scalaire". Et s'il n'y a pas de confusion possible, on les note + et .
    Par exemple, dans un espace vectoriel de fonctions + sera l'addition des fonctions, pas l'addition que tu as apprise en primaire.
    Cordialement. 
  • D'accord, alors existe-t-il un espace vectoriel muni d'une autre loi interne (par exemple composition ou intersection ...). merci d'avance.
  • Oui bien sûr. Pour reprendre l'exemple des fonctions, on sait multiplier les fonctions entre elles, ce qui définit un produit interne qui est associatif, distributif sur l'addition des fonctions et pour lequel on a des relations de compatibilité avec le produit par un scalaire : $\lambda(fg)=(\lambda f)g$ et $\lambda(\mu f)=(\lambda\mu)f$ pour $\lambda$ et $\mu$ scalaires et $f$ et $g$ fonctions. Cette structure (somme, produit par un scalaire, produit interne) porte le doux nom d'algèbre associative.
    Un autre exemple : dans $\R^3$, on a le produit vectoriel.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (21 Jan)
    Voici un exemple : si $X$ est un ensemble, alors $\mathfrak{P}(X)$ muni l'opération interne différence symétrique et de l'opération externe définie par
    $$\forall A\in\mathfrak{P}(X) ,\quad 0\cdot A = \emptyset\quad\text{et}\quad 1\cdot A = A$$ est un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{F}_2$.
  • Et tu veux dire qu"on a naturellement d'autres opérations internes telles que la réunion ou l'intersection ?
  • Autant pour moi, j’ai peut-être mal compris la question posée.
  • « Autant pour moi » ou « au temps pour moi », expression controversée, chacune des formes a ses arguments, on peut choisir :
  • Chaurien
    Modifié (23 Jan)
    Moi je trouve que @MrJ a raison. Il donne un exemple d'ensemble muni d'une loi interne et d'une loi externe qui satisfont aux propriétés d'espace vectoriel. C'est une réponse pertinente à l’étrange question posée initialement. Si un ensemble est muni de deux telles lois, ce sera un espace vectoriel, que ces lois s'appellent au départ comme ci ou comme ça, voilà tout. D'ailleurs, la différence symétrique se note généralement $\Delta$, mais en raison de son rôle d'addition, on la note aussi parfois $\oplus $ (somme booléenne). On peut ajouter qu'avec l'intersection comme multiplication interne, on a une structure d'algèbre : algèbre de Boole. Ceci est très connu.
    Exemple voisin. Soit un groupe $G$ dont on note la loi par juxtaposition, et soit $e$ son élément neutre. Si l'on a : $x^2=e$ pour tout $x \in G$, il est très simple de prouver que ce groupe $G$ est abélien. On peut noter $+$ la loi de ce groupe et $0$ son élément neutre. On peut alors munir $G$  de la loi externe évoquée par @MrJ avec $\mathbb{F}_2=\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ comme corps de scalaires : pour $x \in G$, on définit : $0 \cdot x=0$ et $1 \cdot x=x$. Les deux « 0 » ne sont bien sûr pas les mêmes, je ne développe pas. On obtient à l'évidence un espace vectoriel. Un intérêt de cette construction, c'est qu'elle permet de prouver immédiatement, via une base de cet espace vectoriel, que si $G$ est fini, alors son cardinal est $2^m, m\in \mathbb N$ (groupe booléen),
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Fin de partie
    Modifié (23 Jan)
    samo12:  Comme dit par d'autres, ce sont les relations qu'entretiennent entre elles les lois de la structure d'espace vectoriel qui sont importantes et pas le nom qu'on peut donner à ces lois.

    L'ensemble des vecteurs du plan forme un espace vectoriel, on parle d'addition de vecteurs, mais, a priori, cette addition n'a aucun rapport avec l'addition des réels hormis le fait que l'ensemble des réels d'une part et d'autre part l'ensemble des vecteurs du plan sont munis naturellement d'une structure de groupe commutatif.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    Bonjour ! Je faisais des recherches sur les espaces vectoriels et voilà que je suis tombé sur un sujet similaire au mien. Selon la définition* d'espace vectoriel que j'ai apprise, j'ai compris dans dans plusieurs cas que pour montrer qu'une fonction est un espace vectoriel, il doit vérifier les propriétés de linéarité et de la multiplication par un scalaire. Parfois on utilise la définition d'un sous-espace vectoriel. Je sais que mes questions peuvent sembler bêtes mais j'aimerais en être sûr du pourquoi, tout comme dans le cas des sous-groupes. 
    - Est-ce que le fait d'être un sous-espace-vectoriel suffit à montrer que c'est un espace vectoriel ? 
    - Pourquoi on utilise ces deux définitions différentes plutôt que celle de la définition de l'espace vectoriel ?

    Ps : * On appelle espace vectoriel sur un corps commutatif $K$ tout ensemble $E$ muni de deux lois $(+, \times)$. Une loi $(+)$ qui lui donne une structure de groupe abélien, une loi $(\times)$ par un scalaire qui vérifie les propriétés suivantes l'associativité de l'addition par la multiplication d'un scalaire ou vecteur, la commutativité et l'existence d'un élément neutre c'est-à-dire :
              $1$.  $\forall x, y \in E,\ \forall \alpha \in K  \quad \alpha (x+y)= \alpha x +\alpha y$.
              $2$.  $\forall \alpha, \lambda \in K,\ \forall x \in E  \quad (\alpha + \lambda) \times x = \alpha x +\lambda x$.
              $3$.  $\forall \alpha, \lambda \in K,\ \forall x \in E  \quad (\alpha \lambda) \times x = \alpha (\lambda x)$.
              $4$.  $\forall x \in E,\ \forall \alpha \in K  \quad 1\times x= x$.
    Merci d'avance pour vos réponses.
  • Un sous-espace vectoriel $F$ d'un espace vectoriel $(E, +, .)$ est muni d'une structure d'espace vectoriel pour les opérations $+$ restreinte à $F \times F$ et $.$ restreinte à $K \times F$, où $K$ est le corps des scalaires, exercice que je te laisse rédiger proprement. Donc un sous-espace vectoriel est toujours naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel.
  • Je ne sais pas si c'est le bon terme approprié lorsque je parle de propriété de linéarité. Pour être bien précis, je fais référence à ça. Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies. On a $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    @Poirot je ne comprends pas bien votre définition "restreinte à $F \times F$ et $.$ restreinte à $K \times F$.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    Donc si je comprends bien le fait de montrer que c'est un sous-espace vectoriel suffit qu'elle soit espace vectoriel.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    Soit $K$ un corps. On appelle sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel $E$ sur $K$, toute partie $F\subset E$, qui vérifie cette  propriété : 
    $\forall \alpha \in K,\ \forall x\in F ,\ \alpha x \in F$
  • Poirot
    Modifié (9 Feb)
    Non, il n'est pas suffisant de vérifier ça pour être un espace vectoriel. Par exemple $\{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid xy \geq 0\}$ vérifie la propriété de ton dernier message, mais n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$.
    Il faut ajouter que $F$ est un sous-groupe de $(E, +)$, ou, ce qui revient au même dans ce cas, que $F$ est non vide et que $\forall x, y \in F,\ x+y \in F$. En pratique, on rassemble tout ceci en vérifiant simplement que la partie est non vide et que $\forall x, y \in F,\ \forall a \in K,\ ax+y \in F$.
    Tu ne sais pas ce qu'est la restriction d'une fonction ? $+$ est une fonction de $E \times E \to E$, quand je la restreins à $F \times F$ j'obtiens une fonction  de $F \times F \to E$. Si $F$ est un sous-espace vectoriel alors cette restriction est en fait de $F \times F \to F$. Pareil pour $.$ qui est une fonction de $K \times E \to E$, et quand $F$ est un sous-espace vectoriel alors sa restriction à $K \times F$ est de $K \times F \to F$.
  • gerard0
    Modifié (9 Feb)
    Bonjour Amadou.
    Tu devrais repenser à ce qu'est un espace vectoriel ("pour montrer qu'une fonction est un espace vectoriel" ??? Une fonction ??). C'est un triplet (E,+,.) où E est un ensemble, + une loi de composition interne qui fait de $(E,+)$ un groupe commutatif et . une loi de composition externe de $K\times E$ dans $E$, ces opérations vérifiant les 4 propriétés que tu as citées. Une fonction est un objet bien plus simple, à priori.
    Il est courant de travailler avec des fonctions formant un espace vectoriel, mais elles ne sont pas l'espace vectoriel, elles sont les vecteurs (éléments de l'ensemble $E$).
    Pour la restriction, c'est simplement ne plus considérer que des éléments du sous-ensemble, si c'est possible. Par exemple l'addition des réels restreinte à $\mathbb N$ c'est simplement l'addition des entiers, qu'on apprend à 6 ans. Mais on ne peut pas restreindre l'addition des réels à l'ensemble {1,2} car par exemple 2+2 n'existerait plus.
    Revois aussi la définition d'un sous-espace vectoriel ($F\subset E$ est un sev de $E$ lorsque $(F,+,.)$, où les opérations sont restreintes à $F$ est un espace vectoriel) et la méthode simple pour justifier qu'une partie est bien un sous-espace vectoriel (prouver que $F$ est non vide et que $\forall x\in F,\ \forall y\in F,\ \forall k\in K,\ k.x+y\in F$). Dans ces propriétés, tous les mots comptent.
    Cordialement.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    @Poirot, pour votre exemple, il suffit de trouver un couple $(x, y)$ de nombres réels qui ne vérifie pas la relation $xy \geqslant 0$. Pour montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel.
    Mais si on remplace le $(x,y)\in \mathbb R^2$ par $(x,y)\in \mathbb N^2$, alors c'est bien un sous-espace vectoriel non ?
  • Je sais ce que signifie restreindre une fonction, mais j'étais un peu confus lorsque vous avez utilisé "$F \times F$ et $K\times F$" sans réaliser que cela signifie simplement un couple. Maintenant, je comprends mieux.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    @gerard0 @Poirot votre dernière définition me semble plus pragmatique. Cependant, j'aimerais savoir s'il n'y a pas une différence entre propriété et définition. Puis-je parler de stabilité en utilisant cette dernière écriture $\forall x\in F,\ \forall y\in F,\ \forall k\in K,\ \ k.x+y\in F$ ?
  • gerard0
    Modifié (9 Feb)
    On peut définir un sous-espace vectoriel avec la propriété $\forall x\in F,\ \forall y\in F,\ \forall k\in K,\ k.x+y\in F$ (P). L'inconvénient est que ça ne dit pas pourquoi on appelle ça un "sous-espace vectoriel". Alors que pour chaque structure algébrique, on définit les sous-structures de la même façon (une structure algébrique est- un ensemble muni d'une ou plusieurs opérations : magma, groupe, anneau, corps, module, espace vectoriel,...).
    On aura stabilité des deux lois avec la propriété (P) si le sous-ensemble est non vide (elle est toujours vraie sur $\emptyset$ puisqu'on ne pourra pas exhiber un contre-exemple) ce qui est nécessaire, car un espace vectoriel a au moins un élément (son $0$). En l'utilisant, tu prouveras facilement que le $0$ de $E$ est dedans, puis que les opérations sont stables, et ce sera fini, puisque les 8 propriétés (groupe abélien+4) étaient déjà vraies. Mais on trouve tout ça dans les cours de base sur les espaces vectoriels, au premier chapitre. Tu devrais en regarder un ...
  • Poirot
    Modifié (9 Feb)
    Amadou a dit :
    @Poirot, pour votre exemple, il suffit de trouver un couple $(x, y)$ de nombres réels qui ne vérifie pas la relation $xy \geqslant 0$. Pour montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel.
    Mais si on remplace le $(x,y)\in \mathbb R^2$ par $(x,y)\in \mathbb N^2$, alors c'est bien un sous-espace vectoriel non ?
    Non, ce n'est pas du tout ça. Si on considère l'ensemble $F = \{(x, y) \in \mathbb R^2 \mid x=y\}$, alors il existe des couples de nombres réels $(x,y)$ qui ne vérifie pas $x=y$, mais ça ne veut pas dire que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ parce que $F$ est effectivement un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ (exercice pour toi) ! L'ensemble $G = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid xy \geq 0\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ car par exemple on a $(3, 1) \in G$ et $(-2, -2) \in G$ mais $(3,1) + (-2,-2) = (1, -1) \not \in G$. Cependant $G$ vérifie bien $\forall (x,y) \in G, \forall a \in \mathbb R, a(x,y) = (ax,ay) \in G$ ! Restreindre à $\mathbb N^2$ résout le problème de la stabilité par addition, mais on perd alors la stabilité par multiplication par un scalaire réel.

    @gerard0 Je ne suis pas d'accord avec le fait qu'on ne puisse pas restreindre l'addition à $\{1, 2\}$. Une restriction ne concerne que l'ensemble de départ. Pour nos histoires de sous-espaces vectoriels, ce qui compte c'est que la restriction en question puisse être corestreinte aussi, c'est-à-dire qu'elle laisse notre partie stable.
  • Effectivement, tu as raison, mais j'avais en tête qu'on ne travaille plus que dans {1,2}, donc la définition classique de sous-structure. Je corrige.
  • @gerard0, @Poirot j'ai compris maintenant la définition de sous-espace vectoriel. Merci infiniment.
  • gerard0 a dit :
    Mais on trouve tout ça dans les cours de base sur les espaces vectoriels, au premier chapitre. Tu devrais en regarder un ...
    Vous faites référence à quel manuel ? De mon côté, j'utilise le manuel "Cours de mathématiques Spéciale de Bernard Gostiaux" qui m'a été recommandé par @dp, que je le trouve très utile pour ma compréhension et mon apprentissage.
  • Je ne le connais pas, mais il est de qualité. Cependant, ne t'en contente pas, va voir d'autres ouvrages ou des cours sérieux sur Internet.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    Poirot a dit :
    Si on considère l'ensemble $F = \{(x, y) \in \mathbb R^2 \mid x=y\}$, alors il existe des couples de nombres réels $(x,y)$ qui ne vérifie pas $x=y$, mais ça ne veut pas dire que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ parce que $F$ est effectivement un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ (exercice pour toi) !
    Pour $x=y=0$ on a le couple $(0 ; 0) \in F$. Donc $F\neq \emptyset $.
    Soit $\alpha =(x ; y) \in \mathbb R \times \mathbb R$ et $\beta = (x' ; y')\in \mathbb R \times \mathbb R $ et soit $k\in \mathbb R$. Montrons que $k \alpha + \beta \in F$.
    \begin{align*}
    k \alpha + \beta &= k (x ; y) + (x' ; y') \\
                             & = (kx+x' ; ky+y')  \\
                             & = (kx +x' ; kx + x')  \in F (\text{car} \,\  x=y)
     \end{align*}
  • Attention, problème de partenthèses.
  • gerard0 a dit :
    Je ne le connais pas, mais il est de qualité. Cependant, ne t'en contente pas, va voir d'autres ouvrages ou des cours sérieux sur Internet.
    D"accord ! Pour l'instant je vais me concentrer sur ce manuel. Une fois que j'aurais une base solide, je pourrrais consulter d'autre livre.  Pourriez vous me recommandez un site serieux où je pourrais avoir accès à des cours vidéos pour completer mon apprentissage. 
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    gerard0 a dit :
    Attention, problème de partenthèses.
    A quel niveau ? J'ai vu merci.
  • Syntax_Error
    Modifié (9 Feb)
    samo12 a dit :

    Bonjour,
    j'ai une question (un peu bête) sur les espaces vectoriels. En effet, quand on définit un espace vectoriel, on se donne  deux lois une interne et l'autre externe. Est ce que ces deux lois sont toujours l'addition et la multiplication par un scalaire ?
    Merci de m'éclairer.

    Les lois sont traditionnellement notées $+$ et $\bullet$ mais peuvent n'être pas les lois que ces symboles représentent habituellement: Tu peux par exemple munir $E=]0,+\infty[$ d'une structure de R espace verctoriel en le munissant de la multiplication habituelle (qui joue le rôle d'addition), et de la loi $\bullet$ définie pour $\lambda\,$ réel et $x \in ]0,+\infty[$ par $\lambda \bullet x = x^\lambda$.

    Tu peux aussi munir le même ensemble $E$ des lois multiplication (habituelle), servant d'addition, et de la loi * définie par $a*b= a^{\ln(b)}$. Ces lois munissent E d'une structure de corps commutatif, et donc d'une structure d'espace vectoriel sur lui-même.
  • Amadou
    Modifié (9 Feb)
    Syntax_Error a dit : 
    Tu peux aussi munir le même ensemble $E$ des lois multiplication (habituelle), servant d'addition, et de la loi * définie par $a*b= a^{\ln(b)}$. Ces lois munissent E d'une structure de corps commutatif, et donc d'une structure d'espace vectoriel sur lui-même.
    Si je comprends bien, la multiplication usuelle jouera le rôle de la loi interne ici. Dans ce cas est-ce que l'élément neutre est bien égal à 1 ?  
  • Amadou a dit :
    Syntax_Error a dit : 
    Tu peux aussi munir le même ensemble $E$ des lois multiplication (habituelle), servant d'addition, et de la loi * définie par $a*b= a^{\ln(b)}$. Ces lois munissent E d'une structure de corps commutatif, et donc d'une structure d'espace vectoriel sur lui-même.
    Si je comprends bien, la multiplication usuelle jouera le rôle de la loi interne ici. Dans ce cas est-ce que l'élément neutre est bien égal à 1 ?  
    Oui, $1\,$ est ici élément neutre de la loi interne. Tu remarqueras qu'il est aussi comme de juste élément absorbant pour la loi multiplicative $*\,$.
  • MrJ a dit :
    Voici un exemple : si $X$ est un ensemble, alors $\mathfrak{P}(X)$ muni l'opération interne différence symétrique et de l'opération externe définie par
    $$\forall A\in\mathfrak{P}(X) ,\quad 0\cdot A = \emptyset\quad\text{et}\quad 1\cdot A = A$$ est un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{F}_2$.
    Merci pour ce joli exemple, qui en plus fournit une preuve à laquelle je n'aurais pas pensé de l'égalité $|P(X)| = 2^{|X|}$.
  • stfj
    Modifié (10 Feb)
    Bonjour. Pour répondre à la question originale : 
     il me semble raisonnable pour OP de se limiter aux espaces vectoriels réels, ie sur le corps $\mathbb R $ des nombres réels; la question est loin d'être "bête" puisque la présentation axiomatique des espaces vectoriels est récente (un siècle tout au plus si je ne me trompe pas.) Il s'agit d'une structure et non d'un objet mathématique concret comme un nombre entier tel que $7$. Dans cette structure, on peut mettre ce que l'on veut comme il a déjà été dit. Et des exemples ont été fournis dans les réponses. Pour OP, il me semble intéressant de revenir à des exemples historiques qui ont conduit à la structure d'espace vectoriel. Au 19è siècle se développent différentes géométries, géométrie dans des espaces de dimension supérieure à trois, géométries non euclidiennes, géométrie projective réelle, ...

    Pour répondre à la question originale d'OP, restreignons-nous au plan euclidien $\mathbb R^2$ et à l'espace $\mathbb R^3$. Comme chacun sait, il y a de très nombreuses analogies entre le plan et l'espace. Néanmoins les lois de compositions internes toutes deux nommées additions sont différentes, l'une étant $$(x,y),(x',y')\mapsto (x+x',y+y'),$$ l'autre $$(x,y,z),(x',y',z')\mapsto (x+x',y+y',z+z')$$
    D'où l'idée mathématique naturelle de chercher ce qu'ont de commun le plan et l'espace en extrayant une structure commune, la structure d'espace vectoriel réel. Cet effort de généralisation est toujours payant en mathématiques : il a servi par exemple à bien distinguer entre les propriétés de nature affine et les propriétés liées au produit scalaire. Confusions savamment entretenues dès la classe de 6è où l'on mélange notions de perpendiculaire et de parallèle.

    La difficulté pour un étudiant issu de cet enseignement secondaire, qui méconnaît en outre nécessairement ce long aspect historique de la géométrie, est donc naturelle, d'autant plus que la structure d'espace vectoriel a trouvé bien d'autres applications non nécessairement géométriques. Il faut donc apprendre en ayant l'impression - qui n'est pas qu'une impression- qu'on n'y comprend rien, et poser des "questions bêtes".

    Néanmoins, en dimension finie, disons ici en dimension $2$ ou $3$, tout espace vectoriel réel est isomorphe à $\mathbb R^2$ ou à $\mathbb R^3$. Donc avec ces restrictions, la réponse à la question originale est : OUI. Ce qui montre bien qu'une question bête ne l'est pas toujours.
  • gerard0
    Modifié (10 Feb)
    Heu ... tu trafiques un peu la réalité !! Et ma réponse immédiate à l'OP est plus claire !!
    Pourquoi dis-je que tu trafiques la réalité : simplement parce que "l'addition", comme dit Samo12, n'existe pas hors contexte. Alors soit c'est le contexte "espace vectoriel" et j'ai répondu tout de suite que c'était le nom qu'on donne, soit c'est le contexte "je n'y connais rien" et alors c'est probablement l'addition des nombres. Mais justement, dans $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$, c'est une opération différente ...
    Cela dit, effectivement, la question n'est pas bête.
    Drôle d'idée de vouloir répondre à la question initiale alors qu'elle a été déjà traitée correctement il y a 3 semaines !
    Cordialement.
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