Petit parallélogramme

jelobreuil
Modifié (19 Jan) dans Géométrie
Bonsoir à tous
Soit un triangle $ABC$, et les milieux $A'$, $B'$ et $C'$ des trois côtés. On trace deux séries de trois cercles ayant pour centres ces milieux : en rouge sur ma figure, les cercles $(A', A'B')$, $(B', B'C')$ et $(C', C'A')$, et en vert, les cercles $(A', A'C')$, $(B', B'A')$ et $(C', C'B')$. On détermine les centres radicaux $R$ et $V$ de ces deux séries de trois cercles. On trace aussi les cercles circonscrit et d'Euler de $ABC$, de centres respectifs $O$ et $N$.
Montrer que le milieu $M$ de $RV$ est aussi celui de $ON$, ce qui fait que le quadrilatère $ORNV$ est un parallélogramme.
Bien cordialement, JLB

Réponses

  • Bonsoir,

    Avec Morley circonscrit:
    % Jelobreuil - 19 Janvier 2024 -  Petit parallélogramme
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    
    aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;  % Conjugués (Morley circpnscrit)
    
    s1=a+b+c;
    s2=a*b+b*c+c*a;
    s3=a*b*c;
    
    s1B=s2/s3;  % Conjugués
    s2B=s1/s3;
    s3B=1/s3;
    
    vdm=(a-b)*(b-c)*(c-a);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    ap=(b+c)/2; bp=(c+a)/2; cp=(a+b)/2; % Points A', B', C'
    apB=(bB+cB)/2; bpB=(cB+aB)/2; cpB=(aB+bB)/2; % Conjugués
    Ra2=(cp-bp)*(cpB-bpB); Rb2=(ap-cp)*(apB-cpB); Rc2=(bp-ap)*(bpB-apB); % Carrés des rayons  
    
    [r rB]=CentreRadical(ap,apB,Rc2,bp,bpB,Ra2,cp,cpB,Rb2);
    [v vB]=CentreRadical(ap,apB,Rb2,bp,bpB,Rc2,cp,cpB,Ra2);
    % On trouve:
    r=((a*b^3+b*c^3+c*a^3)-(2*s2^2 - 5*s1*s3))/(2*vdm); 
    v=(-(a*c^3+b*a^3+c*b^3)+(2*s2^2 - 5*s1*s3))/(2*vdm); 
    
    m=Factor((r+v)/2) % On trouve m=s1/4
    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour Rescassol, et merci pour la confirmation ! 
    Bien cordialement, JLB
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