Loi conditionnelle dans le cas de v.a mélangées

Bonjour, je travaille sur l'exercice suivant.

Soit $X\sim \mathcal{N}(0,1)$ et $T\sim \mathcal{B}(1/2)$ des variables aléatoires suivant respectivement des lois gaussienne et de Bernoulli. Supposons que $X$ et $T$ sont indépendantes et définissons la loi suivante $Y=X1_{T=1}-X1_{T=0}$. Montrez que $\text{Loi}(Y|X=x)=\frac{\delta_{x}+\delta_{-x}}{2}$ et justifiez alors que $Y$ et $X$ ne sont pas indépendants.

Je n'ai pas de problèmes avec la deuxième partie de l'exercice car $\text{Loi}(Y)=P(T=1)\text{Loi}(X)+P(T=0)\text{Loi}(-X)=\text{Loi}(X)$ par le théorème de la probabilité totale et en utilisant $\text{Loi}(X)=\text{Loi}(-X)$. Si cela est vrai et j'admets le résultat de l'exercice, alors $\text{Loi}(Y|X=x)\not=\text{Loi}(X)$ d'où on déduit que $X$ et $Y$ ne peuvent pas être indépendants.

La première partie est le problème pour moi. Tout ce que je peux écrire est $\text{Loi}(Y|X=x)=\text{Loi}(X1_{T=1}-X1_{T=0}|X=x)$. La prochaine étape à laquelle je pense est d'utiliser la définition de la loi conditionnelle et d'écrire que le terme précédent est égal à $\dfrac{P(\{X1_{T=1}-X1_{T=0}\} \cap \{X=x\})}{P(X=x)}$. Mais je ne peux pas progresser. En général, j'ai toujours des conflits pour comprendre ces lois en général qui sont un mélange d'une variable aléatoire discrète et d'une variable aléatoire continue comme dans ce cas.

Quelqu'un peut-il éclairer ma lanterne ? Merci beaucoup d'avance.Cordialement, AP.

Réponses

  • Bonne nuit, peut-être quelques indications ?
  • LeVioloniste
    Modifié (22 Jan)
    a) Ici en fait il faut savoir que $\delta$ est un Dirac. Il vérifie $\int_{\mathbb{R}} \delta = 1$. (Utilisé dans la théorie des distributions). C'est la mesure d'un atome.
    Elle est utile ici pour une loi dont l'ensemble des valeurs prises est infinie.
    Ensuite :
    Si $T=1$ alors $Y=X$
    Si $T=0$ alors $Y=-X$
    Ainsi si on a $X=x$ et comme $X$ et $T$ sont indépendantes :
    $\mathbb{P}(Y=X|X=x)=\mathbb{P}([X=x] \cap [T=1])=\mathbb{P}([Y=x]) \times \mathbb{P}( [T=1])=\frac{1}{2}.\mathbb{P}([Y=x])=\frac{1}{2}.\delta_x$
    $\mathbb{P}(Y=-X|X=x)=\mathbb{P}([Y=-x]) \times \mathbb{P}( [T=0])=\frac{1}{2}.\delta_{-x}$
    Ainsi $\mathbb{P}(Y|X=x)=\frac{\delta_{x}+\delta_{-x}}{2}$ par sommation.

    b) Pour cette question  il n'y a pas besoin de la loi conditionnelle pour montrer la négation de l'indépendance.
    $Y=X$ et $Y=-X$ montrent clairement la dépendance !
    Sinon avec les espérances il  faut montrer que $\mathbb{E}(Y|X) \neq \mathbb{E}(Y)$ Peux-tu  calculer ces 2 espérances ?

    Je ne suis pas d'accord avec ta première phrase. Ce ne sont pas des maths ! On n'écrit pas une loi avec un mélange de probabilités. Cela n'a aucun sens. Et $Loi(-X)=Loi(X)$ c'est archi-faux, prend la loi uniforme sur $[0,1]$ par exemple.
    Dans cet exercice si tu veux établir la loi conjointe $(X,Y)$ tu dois calculer $\mathbb{P}(Y  \leq y, X \leq x)$ et c'est une possibilité pour travailler cet exercice.

  • APf
    APf
    Modifié (24 Jan)
    Bonjour. Merci de m'avoir mis sur la bonne voie. Pour ta réponse, à la fin, je ne suis pas sûr de comprendre : $Loi(-X)=Loi(X)$ est archi-faux, prends la loi uniforme sur $[0,1]$ par example. Ici $X\sim N(0,1)$ de sorte que $X$ est symétrique par rapport à l'origine et $\mathbb{P}(X\geq x)=\mathbb{P}(X\leq -x)$. Donc $Loi(X)=Loi(-X)$. Par ailleurs, si $X\sim U(0,1)$ alors $Loi(X)=Loi(1-X)$, alors bien sûr $Loi(X)$ n'est pas égale à $Loi(-X)$ en cela cas.
    Bonne journée.
    Cordialement.
  • LeVioloniste
    Modifié (25 Jan)
    Loi(X)=Loi(-X) vrai lorsque la loi est symétrique.
    C’est vrai pour les lois normales car leur densité est symétrique.
    Ici il y a un mélange de lois et tu vois que $Y=X$ ou $Y=-X$.  Toi tu as écrit $Y=X$ en loi. Donc c’est faux.
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