Est-il possible de recouvrir $\mathbb{R}^n$ par moins de $n+1$ cônes ?

johnsmoke
Modifié (19 Jan) dans Géométrie
Hello, comment ça va ?
Je cherche à démontrer le plus simplement possible que le nombre minimal de cônes de dimensions $n$ et à espace de linéalité nulle qui peuvent recouvrir $\mathbb{R}^n$ est $n+1$. Je galère un peu, auriez-vous un plan d'attaque ?
Toutes mes tentatives utilisent un raisonnement par l'absurde, ça me semble la bonne idée de départ mais je n'arrive pas à conclure.
Merci !

Réponses

  • Voici une idée que je n'ai pas vérifiée jusqu'au bout :
     * Chaque cône est inclus dans un demi-espace ouvert.
     * On se ramène donc à vérifier que si $x_1,\ldots,x_n$ sont $n$ vecteurs de $\R^n$ alors il existe $x\in\R^n\setminus \{0\}$ tel que $\langle x,x_i\rangle \geqslant 0$.
     * Pour cela on applique l'orthonormalisation de Gram-Schmidt : on obtient une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ telle que la matrice de la famille $(x_1,\ldots,x_n)$ dans cette base est triangulaire supérieure, avec des coefficients diagonaux positifs.
     * Le vecteur $x=e_n$ convient.
  • Oh super merci JLT ça fonctionne oui. Il faut toujours se rappeler de Gram-Schmidt : j'avais oublié et j'ai été puni ! Merci encore, je continue mon truc je reviens si j'ai des rpoblèmes (ce qui est possible ;) )
  • johnsmoke
    Modifié (19 Jan)
    À ceci près que dans ton premier *, chaque cône privé de zéro est inclus dans un demi-espace ouvert. Cela ne change rien cependant  à la preuve car tu spécifies bien $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ dans ton deuxième *.
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