Points extrémaux

Bonjour à tous,
(NB : je donne le contexte pour information mais il n'est pas nécessaire à la compréhension de la question).
Je lis un polycopié de transport optimal dans lequel l'auteur développe le cas discret. Dans ce cadre, le problème de Kantorovich est un problème linéaire et l'on sait dans ce cas dire des choses sur l'existence de solutions.

Dans ce cadre, l'auteur prouve l'existence de points extrémaux d'un convexe compact en dimension finie. En remarque, il est écrit que l'hypothèse de compacité est importante et donne l'exemple de l'ensemble des couples (x,y) dans $\mathbb{R}_+ˆ2$ tels que $x y \geq 1$ qui n'admet pas de points extrémaux.

Je remets en doute cela. Pour rappel, un point extrémal est un point qui n'est milieu d'aucun segment non trivial (ie réduit à un point). Dans l'exemple précédent, il me semble que tous les points tels que $y = \frac{1}{x}$ sont extrémaux.

Y a-t-il quelque chose qui m'échappe ?

Ram

Réponses

  • Georges Abitbol
    Modifié (18 Jan)
    L'exemple est mal choisi, en effet... En plus, dans cette histoire, l'important n'est pas seulement l'existence de points extrémaux mais surtout le fait que le convexe est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux, ce qui m'a l'air le cas de ton ensemble...
    N'importe quel convexe ouvert n'a pas de points extrémaux. Sinon, aucun demi-plan fermé n'est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux.
  • C'est bien ce qu'il me semblait, merci !
  • Sinon, une droite est un convexe fermé non compact sans points extrémaux.
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