Espérance d'une loi discrète sur N

blasselle

Bonjour
Je vous propose le problème suivant dépendant de deux entiers non-nuls : $n$ et $k$.

On considère un dé équilibré à $n$ faces et l'expérience qui consiste à lancer ce dé jusqu'à obtenir chaque face au moins $k$ fois.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où le dé a été lancé.
Le but serait de déterminer la formule générale de $P(X=a)$, l'espérance et la variance de $X$.

Note. Le problème semble ardu et ne semble pas correspondre à une loi de probabilité classique ou s'obtenir à partir de lois classiques à première vue. Il s'agit d'une généralisation du problème du collectionneur de vignettes qui correspond à $k = 1$. Si $k=1$, X peut s'écrire comme une somme de variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques. On en déduit les résultats suivants pour l'espérance et la variance : $$E(X) = n \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \qquad ; \qquad V(X) = n^2 \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} - n \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} $$ Mais je ne vais pas beaucoup plus loin que ça.
Avez-vous déjà vu ce type de problème ? Je pense à minima que le cas $n=2$ devrait être accessible.

Lucas

Bonsoir
Décidément le problème du collectionneur de coupons a du succès sur le forum ces temps-ci...

Effectivement pour le cas $k\geq 1$ on ne va pas avoir de belles expressions pour la loi ni même pour l'espérance. Dans le livre de Flajolet-Sedgewick "Analytic Combinatorics" (disponible en ligne sur les pages web des auteurs), tu peux trouver une forme intégrale pour $\mathbb{E}[X]$, et même l'asymptotique en haut de la page 118 :
$$\mathbb{E}[X]=n(\log(n) +(k−1)\log\log(n) +\gamma −\log(k−1)!+o(1)).$$
Autrement dit, ça ne coûte presque rien (et rien du tout au premier ordre) de demander $k$ tirages plutôt que $1$.

blasselle

Merci pour ce lien !
A quoi correspond le terme :  $e_{b−1}(t/r)$ dans l'intégrale ?
J'aimerais obtenir au moins un moyen d'avoir des valeurs approchées des espérances.

Lucas

C'est l'exponentielle tronquée (voir p.111)  : $$e_b(z)=1+z+z^2/2! +\dots +z^b/b!$$

blasselle

Je pensais bien que le cas $n=2$ était accessible. Je trouve ceci comme espérance :
$$E(X) = \frac{1}{4^{k}}  \left ( 2k \binom{2k}{k} + 4 \sum_{i=0}^{k-1} \binom{2k}{i} (2k-i) \right )$$
Je vous le laisse comme un exercice si ça en intéresse certains sur ce forum et je vais essayer de m'attaquer au cas $n=3$ mais ça risque d'être bien plus compliqué...