Tirage avec remise de boules numérotées

Escherichia_colin

Titre initial "Tirage avec remise de boules numérotées : probabilité d'avoir sorti au moins une fois chaque boule"
[Le titre doit être informatif mais court. Il y a tout le corps du message pour les précisions. AD]

Bonjour
Ni mathématicien ni statisticien, je m'interroge sur un problème de probabilité.

Dans un sac, j'ai 11 boules numérotées de 1 à 11.
Évènement : je tire une boule, je note le numéro et je la remets dans le sac. J'ai 25 événements.
Quelle est la probabilité, à l’issue de ces 25 évènements, d'avoir tiré au moins une fois chacune des 11 boules ? Combien de tirages seraient nécessaires pour obtenir une probabilité de 85%, 90% ou 95% de chance d'avoir tiré au moins une fois chaque boule ?

Je vous remercie par avance pour votre aide et vos explications, adaptées à la compréhension d''un simple curieux, bien cordialement,
E.colin

Heuristique

Bonjour
Voici un lien qui devrait t'éclairer sur ton problème, appelé problème du collectionneur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_du_collectionneur_de_vignettes

JLapin

Cela revient à diviser le nombre de surjections de $[1,25]$ dans $[1,11]$ (nombre de cas favorables) par le nombre d'applications de $[1,25]$ dans $[1,11]$ (nombre de cas possibles).

Il n'y a pas de formule très simple pour expliciter le nombre de surjections entre deux ensembles finis mais il existe par exemple une formule sommatoire et aussi une relation de récurrence.

Lucas

Bonjour Escherichia_colin
Si tu te définis toi-même comme "ni mathématicien ni statisticien" tu risques d'être un peu perdu dans la page wikipedia du problème des collectionneurs.

J'ai fait un petit code qui affiche, en fonction du nombre de tirages, la probabilité que l'on ait tiré au moins une fois chacune des 11 boules.

Sauf erreur, il y a environ $29,56008... \%$ de chances que l'on ait vu les $11$ boules après 25 tirages. Pour ta deuxième question j'obtiens :

Après 45 tirages, au moins 85.0% de chances d'avoir vu les 11 boules
Après 50 tirages, au moins 90.0% de chances d'avoir vu les 11 boules
Après 57 tirages, au moins 95.0% de chances d'avoir vu les 11 boules
Après 98 tirages, au moins 99.9% de chances d'avoir vu les 11 boules

Ben314159

Salut,
Avec un nombre de boules pas trop grand comme ici, tu peux éventuellement utiliser un simple tableur pour faire les calculs : 
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1lD_ZirdZNi54xP2NIgQaK3TpaGnjVIWdPW4CWgyWLtU/edit?usp=sharing

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Mêmes résultats, ici, avec un produit matriciel.

Escherichia_colin

Bonjour à tous, 

Merci beaucoup à chacun d'entre vous pour vos réponses réactives qui résolvent mon problème et me donne des éléments sur quoi travailler pour en comprendre le raisonnement.

Bonne fin de journée