Contre exemple/ matrice réelle qui n'est pas limite d'une suite de matrices diagonalisables de R

jean-louis972

Bonjour
Je sais que l'ensemble des matrices diagonalisables à coefficients complexes est dense dans l'ensemble des matrice à coefficients complexes. Mais il semble que ce ne soit pas le cas pour les matrices à coefficients réels. Comment peut-on le montrer ? Il faudrait trouver une matrice à coefficients réels qui n'est pas limite d'une suite de matrices diagonalisables à coefficients réels ?

Auriez-vous un contre-exemple ?
Merci d'avance.

Heuristique

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\-1 & 0   \\\end{pmatrix}$ ?

Poirot

On peut montrer que l'adhérence des matrices diagonalisables réelles est l'ensemble des matrices trigonalisables réelles. Il suffit de montrer qu'une limite simple de polynômes réels scindés de degré $n$ fixé est encore scindée. Il existe un lemme amusant qui permet de le voir facilement : $P \in \mathbb R[X]$ de degré $n \geq 1$ est scindé dans $\mathbb R$ si et seulement si pour tout $z \in \mathbb C$, $|P(z)| \geq |\mathfrak{Im}(z)|^n$.

Foys

1°) Soit $A:= X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k \in \C[X]$. Soit $R:= \sum_{k=0}^{n-1} |a_k|$. Alors toutes les racines de $A$ sont dans le disque de centre $0$ et de rayon $\max(1,R)$ ("régionnement des racines d'un polynôme").

En effet soit $z$ une telle racine; supposons que $|z| \geq 1$. Alors $$|z^n| = \left | \sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k \right | \leq \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |z^k| \leq  \sum_ {k=0}^{n-1} |a_k| |z^{n-1}| = |z^{n-1}| \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| = |z^{n-1}| R $$ et en divisant cette inégalité par $|z^{n-1}|$ on trouve $|z| \leq R$.

2°) Soient $P,Q$ deux polynômes unitaires et de même degré dans $\C[X]$. Soient $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq d}$ les racines (non nécessairement distinctes) de $Q$: on a $Q = \prod_{k=1}^d (X - \lambda_k)$. Soit $\mu$ une racine de $P$.

Alors $\prod_{k=1}^d (\mu - \lambda_k) =  Q(\mu) = Q(\mu) - P(\mu)$. Soit $R>0$ tel que le disque fermé $\overline D(0,R)$ contient toutes les racines de $P$ et de $Q$ (cf 1°) . Alors $|\prod_{k=1}^d (\mu - \lambda_k)|  \leq \|Q - P\|_{\infty}$ et donc il existe $m \in  \{1,...,d\}$ tel que $|\mu - \lambda_m| \leq \sqrt[d]{\|Q - P\|_{\infty}}$.

3°) $d$ étant fixé, l'ensemble des polynômes complexes de degré inférieur où égal à $d$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, auquel s'applique l'équivalene des normes. Des phrases telles que "$(Q_n)_{n \in \N}$ converge vers $P$" (s'agissant de polynômes de degré $\leq d$) ont donc le même sens quelle que soit la norme envisagée sur ledit espace (notamment la norme infinie sur n'importe quel disque compact de rayon non nul).

 

4°) Au vu de ce qui précède, pour tout polynôme unitaire de degré $d$, pour toute racine $\mu$ de $P$ et pour toute suite de polynômes $(Q_n)_{n\in \N}$ unitaires de degré $d$, il existe une suite $(\lambda_n)_{n \in \N}$ de complexes tels que $\lambda_n \underset {n \to +\infty} {\longrightarrow} \mu$ et tels que $Q_n(\lambda_n) = 0$ (c'est une version simple mais déjà maniable du phénomène de "continuité des racines des polynômes". Sous cette forme il est généralisable à des corps valués algébriquement clos  autres que $\C$, avec la même preuve).

5°) Le résultat précédent interdit à un polynôme comme $X^2+1$ d'être approchable par des polynômes scindés à racines réelles.

Par suite $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ n'est pas approchable par des matrices diagonalisables dans $\R$ (leurs polynômes caractéristiques tendraient vers $X^2+1$).

Ben314159

Salut
Le fait qu'une matrice trigonalisable réelle est limite d'une suite de matrices diagonalisables est assez évident vu qu'en perturbant à peine  la diagonale d'une matrice triangulaire tu peux rendre toute les valeurs propres distinctes.

Réciproquement, si une matrice $N$ n'est pas trigonalisable (dans $\R$), c'est qu'elle admet une valeur propre $\lambda\!=\!a\!+\! ib$ avec $b\!\not=\!0$ donc, si on considère la fonction (continue) $\varphi:M\mapsto \det\big((M\!-\!aI_n)^2\!+b^2I_n\big)$, on a $\varphi(N)\!=\!0$ alors que pour toute matrice diagonalisable $M$ on a $\varphi(M)\!\geqslant\!\big(b^2\big)^n$ ce qui prouve que $N$ ne peut pas être limite d'une suite de matrices diagonalisables.

MrJ

Une discussion récente sur le même thème : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2336330/adherence-des-matrices-diagonalisables-sur-mathbb-r#latest

Chaurien

Pour une démonstration du « lemme amusant » cité par Poirot :  exercice 20 dans :

https://www.xif.fr/public/prépas-dupuy-de-lôme-maths/exercices-sup/algèbre/polynômes.pdf