Nombreuses preuves

JLapin

Voici une preuve de Cayley-Hamilton par calcul intégral.
https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/adc/pdf/enonces.pdf/2014/MP_MATHS_CENTRALE_1_2014.enonce.pdf

Philippe Malot

Bonjour,
La page Wikipedia de l’inégalité arithmético-géométrique contient d’autres preuves que celles déjà mentionnées.
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Inégalité_arithmético-géométrique

Chaurien

Problème de Bâle, d'Euler - Somme des inverses carrés - Zêta(2)
Ce théorème : $\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{1}{n^{2}}=\frac {\pi^2}6$ mérite de figurer parmi les théorèmes à preuves multiples. Nous en avons parlé plusieurs fois sur ce forum :
• La somme des inverses des carrés - 09/2012
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/778196
• Intégrale double généralisée - 01/2017
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1400462/integrale-double-generalisee
• Intégrale à paramètre - 12/2020
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/2139394
• Problème de Bâle - 07/2021
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2279380/probleme-de-bale
• Une nouvelle preuve du problème de Bâle ? 10/2023
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2335755/une-nouvelle-preuve-du-probleme-de-bale

Et j'en ai oublié sans doute... Comme on peut le voir dans ces fils, Fin de Partie connaît très bien cette question, et il a rassemblé toute une collection de démonstrations. Il devrait les classer et en faire un article comme celui que Michel Coste a consacré au théorème de Cayley-Hamilton.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

noix de totos

Pour en rajouter une couche (et aussi pour voir si je peux toujours écrire dans ce forum), voir aussi les nombreuses démonstrations de l'équation fonctionnelle de la fonction $\zeta$ de Riemann proposée par Titchmarsh dans son ouvrage https://books.google.fr/books?id=1CyfApMt8JYC&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

biguine_equation

Le théorème de Waring a connu plusieurs preuves et de nombreuses généralisations. Liouville, Hilbert, Vinogradov, Hardy, Littlewood, Rieger, Hua, Linnik s’y sont collés !

$\bullet$ Théorème: Pour tout entier $k$, il existe un entier $g(k)$  tel que tout entier $n$ peut s’écrire comme la somme d’au plus $g(k)$ puissances $k$-ièmes d’entiers positifs.

L’existence de $g(k)$ pour tout $k$ a été démontrée par Hilbert en 1909. Le théorème de Waring est lui même une généralisation du théorème de Lagrange (1770) énonçant que tout entier est somme de quatre carrés. 

La dernière vidéo de Phillipe Caldero présente cinq preuves de $\zeta(2)$.

biguine_equation

Une preuve du petit théorème de Fermat, fondée sur les itérés d’une fonction ensembliste et ses points fixes.

biguine_equation

Il existe de nombreuses preuves combinatoires du petit théorème de Fermat (ou théorème de Fermat-Euler). L’article du « Mathematics magazine » fait référence à une preuve originale de Kevin Iga inspirée des systèmes dynamiques.

biguine_equation

Puisque ce fil s’intitule «Nombreuses preuves », en voici une parmi 99 ! 

99 preuves du fait suivant : \begin{equation}
\text{Si} \: \:\: x^3-6x^2+11x-6=2x-2, \:\:\: \text{alors} \:\:\: x=1 \:\: \text{ou} \: \: x=4
\end{equation} Ces preuves figurent toutes dans l’incroyable ouvrage « 99 variations on a proof » de $\textbf{Philip Ording}$. J’en ai déjà parlé plusieurs fois ici même mais ce fil est l’occasion d’évoquer la preuve numéro 29 intitulée « Model ».
Quand on a une équation cubique de la forme générale \begin{equation}
x^3+bx^2+cx+d=0
\end{equation} une idée est de procéder au changement de variable $x=y-\frac{b}{3}$ pour aboutir à une équation réduite sans termes carrés. Dans le cas de la cubique à résoudre, on pose $y=x-2$ pour aboutir à la réduite \begin{equation}
y^3-3y-2=0
\end{equation} L’image ci-dessous montre un modèle physique (en papier) de la surface définie par l’équation \begin{equation}
z^3+xz+y=0
\end{equation} Il a été réalisé par une étudiante de l’université de Groningen: $\textbf{Sarah Dennis}$. Elle s’est elle-même inspirée de constructions en trois dimensions réalisées dans les années 30 par un professeur de l’université de l’Illinois: $\textbf{Arnold Emch}$.
En haut de la photo, vous voyez un bout de doigt. Il pointe en direction des coordonnées $(-3,-2,2)$ et $(-3,-2,-1)$ solutions de l’équation réduite de la forme \begin{equation}
z^3+pz+q=0
\end{equation} avec $p=c-\frac{b^2}{3}$ (soit $p=-3$) et $q=d-\frac{bc}{3} +\frac{2b^3}{27}$ (soit $q=-2$).

Chaurien

Les « 99 variations on a proof » de Philip Ording. c'est une sorte de blague mathématique, qui est la transposition dans le domaine mathématique de Exercices de style, de Raymond Queneau.

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2318790/99-preuves

Il ne s'agit pas de multiples preuves d'un théorème important des mathématiques, mais bon, c'est un jeu de l'esprit amusant.

biguine_equation

En effet Chaurien. Mais je conteste le terme de blague. Toutes les preuves présentées dans l’ouvrage sont des plus sérieuses. Sauf peut-être la numéro zéro.

$\bullet$ Si $x^3-6x^2+11x-6=2x+2$ alors $x=1$ ou $x=4$.
$\textbf{Preuve}$: Omise.
…

Chaurien

Les preuves sont peut-être « sérieuses », encore faudrait-il y regarder de plus près, mais le projet dans son ensemble est une blague, car quel intérêt mathématique de prouver 99 fois que telle équation particulière a telles racines ? Maintenant, une bonne blague, ce n'est pas à refuser, mais c'est un autre genre. C'est le point de vue que j'ai constamment défendu à propos de l'Oulipo : ni refus, ni confusion des genres.

biguine_equation

L’intérêt est de montrer la diversité des méthodes issues des différentes branches des mathématiques appliquées à un même problème. 
La méthode 12 utilise la règle et le compas. La méthode 15, matricielle, exprime les solutions comme les valeurs propres d’un opérateur linéaire. La méthode 47 utilise une substitution trigonométrique, la méthode 24, les polynômes symétriques, la 34 (médiévale) nous apprend la méthode de fausse position, la 61 s’appuie sur les anneaux-quotient etc… Après, 100 preuves pour un problème de maths expertes, c’est certainement excessif mais après tout, rechercher de nouvelles preuves a toujours été une partie de l’activité mathématique. 

Concernant le problème de Waring, la preuve de Hilbert est devenue une simple curiosité historique tant sa complexité (à grands renforts d’identités polynomiales exotiques, d’intégrales triples et d’analyse complexe) la rend illisible ! Nous devons la première preuve « élémentaire » à $\textbf{Yuri Linnik}$ produite alors qu’il était jeune étudiant à l’université de Leningrad (Saint-Pétersbourgh).

biguine_equation

Parmi les résultats mathématiques qui ont de nombreuses preuves, il y a le nullstellensatz, l’irréductibilité du polynôme cyclotomique et le théorème fondamental de l’algèbre. L’article ci-dessous offre une démonstration originale et assez simple de ce dernier. Sa lecture a ravivé de (très) lointains souvenirs d’analyse complexe.
On définit une fonction analytique $f$ sur $D(0,r)$, (le disque ouvert de centre $0$ et de rayon $r$), et à valeurs dans $\mathbb{C}$. Si $d_r$ est le diamètre de l’image $f(D(0,k))$, alors on a l’inégalité \begin{equation}
2\vert f’(0) \vert \leq \frac{d_r}{r}
\end{equation}On suppose (contrairement à l’affirmation du théorème fondamental de l’algèbre) qu’il existe un polynôme $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+…+a_0$ non-constant sans racines dans $\mathbb{C}$.
On applique l’inégalité ci-dessus à son polynôme dérivé $q(z)$ puis la formule intégrale de Cauchy à $\frac{1}{p(0)}$ (sous réserve des précautions d’usage) et on aboutit à la contradiction $\frac{k}{d_k}=0$ pour tout $k$.
En effet $k$ et le diamètre $d_k$ sont tous deux positifs.

biguine_equation

En théorie des groupes, de nombreux théorèmes à la formulation simple ont reçu de nombreuses preuves. Ces preuves se divisent généralement en deux: celles qui relèvent de la « pure » théorie des groupes sous sa forme la plus « élémentaire » possible et celles qui utilisent la théorie des représentations linéaires.

$\bullet$ Théorème ($\textbf{Frobenius}$) Soit $G$ un groupe fini et $n$ un entier positif. On note $f_n(G)$ le nombre de solutions dans $G$ de l’équation $x^n=1$. Si $n$ divise $\vert G \vert$, alors $n$ divise $f_n(G)$.
$\bullet$ Théorème ($\textbf{Burnside}$) Soit $G$ un groupe fini et $s$ le nombre de ses classes de conjugaison. Si $\vert G \vert$ est impair, alors $\vert G \vert \equiv s \pmod{16}$.
$\bullet$ Théorème ($\textbf{Poonen}$) Soit $G$ un groupe fini, $s$ le nombre de ses classes de conjugaisons, $m>1$, $p$ un nombre premier divisant $\vert G \vert$ et tel que $p \equiv 1 \pmod m$. Alors $\vert G \vert \equiv s\pmod{2m^2}$.