Nombreuses preuves

Bonjour et bonne année à tous
Je suis tombée sur ce message de Chaurien sur les très nombreuses preuves de la loi de réciprocité quadratique recensées par Franz Lemmermeyer.
J'ignorais qu'il en existât autant, je suis très impressionnée. Et je remercie Chaurien pour l'information et le lien.
M'est alors venue la question suivante : quels autres résultats mathématiques ont aussi beaucoup preuves ?
Là comme ça, j'imagine Pythagore comme déjà évoqué par Chaurien, ainsi que D'Alembert-Gauß. Peut-être aussi le TNP... Mais je ne connais pas d'ouvrages ou de sites les recensant.
Avez-vous connaissance de résultats à nombreuses preuves ? Et pour un tel résultat, avez-vous connaissance d'un recensement de ses preuves ?
Bon week-end
Omega
PS : je découvre pour l'occasion le sous-forum CultureMath. Je me demandais dans quoi j'allais poster et en faisant défiler les catégories, j'ai découvert cette rubrique. Sympa, je trouve !

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Réponses

  • Bonne année @omega !
    Cayley-Hamilton
  • Ah oui, Cayley-Hamilton ! Et tu aurais vent d'un recensement quelque part ?
    Meilleurs vœux à toi @gai requin !
    C.
  • Foys
    Modifié (13 Jan)
    Un catalogue de 30 preuves du théorème de Cayley-Hamilton par Michel Coste se trouve ici :
    https://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/HaCa.pdf
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Poirot
    Modifié (13 Jan)
    Je confirme que l'on connaît de nombreuses preuves du TNP. Certaines disent essentiellement la même chose, mais j'en compte au moins 6 ou 7 vraiment différentes.
  • Chaurien
    Modifié (14 Jan)
        Cette question des théorèmes à multiples preuves est un de mes dadas depuis des années, et je suis heureux de constater que quelqu'un partage mon intérêt pour ce sujet.
  • Il y a une infinité de nombres premiers : voici quelques preuves.
    https://t5k.org/notes/proofs/infinite/
  • Chaurien
    Modifié (14 Jan)
    Soyons franc : le fil que j'avais tenté d'ouvrir à ce sujet il y a huit ans n'a connu aucun succès, et je l'avais bêtement placé en géométrie car il se greffait sur un autre fil consacré au théorème de Pythagore. J'espère que celui-ci recevra plus de réponses.
    Pour l'instant, voici ma première liste de théorèmes à démonstrations multiples.
    1. Loi de réciprocité quadratique.
    2. Théorème de Cayley-Hamilton.
    3. Théorème d'Euclide sur l'infinitude des nombres premiers.
    4. Théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien.
    5. Théorème de Morley pour les trissectrices d'un triangle.
    6. Théorème de Fermat de Noël, des deux carrés (Fermat-Girard).
    7. Problème de Bâle, d'Euler  : calcul de $\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{1}{n^{2}}$.
    8. Calcul de l’intégrale de Gauss $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}/2}dt$.
    9. Théorème de D'Alembert-Gauss.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Bibix
    Modifié (14 Jan)
    Je connais deux preuves de la divergence de la série $\sum_n \frac{1}{n}$ (celle par l'absurde et la comparaison série-intégrale).

    Edit : il y a $3$ preuves de la divergence de la série harmonique vraiment différentes. En plus des deux citées précédemment, on peut aussi démontrer élémentairement que $H_{2^n} \geq 1 + \frac{n}{2}$ ou que $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$.
  • agregagreg2
    Modifié (14 Jan)
    Multiple ca veut dire quoi ? au moins 2 ? 
    Il y a un livre entier sur d'Alembert-Gauss, chez Springer de mémoire.
    Le théorème d'approximation de Weierstrass en a pas mal, abordable souvent en L2 je crois. 
    C'est un sujet qui me parle, resté dans ma tête mais j'ai jamais vraiment listé, c'est l'occasion.  

    ---

    Théorème d'approximation de Weierstrass
    Formule pour la fonction d'Euler
    $\chi_{AB} = \chi_{BA}$ 
    Théorème de trigonalisation
    Inégalité isopérimétrique (il y a un livre entier dessus, chez EDP je crois)
    Petit théorème de Fermat
    Nombre de dérangements
  • Développement du sinus en produit.
    Formule des compléments. 
  • Chaurien
    Modifié (14 Jan)
    « Multiple ça veut dire quoi ? », demande @agregagreg2. On peut déjà commencer par les théorèmes dont le nombre de démonstrations est indiscutablement, disons, considérable. Déjà les trente démonstrations rassemblées par Michel Coste à propos du théorème de Cayley-Hamilton me semblent un effectif digne d'entrer dans notre propos. Il est difficile de donner une limite, et c'est à @Omega de décider, puisqu'elle a initié ce fil.
    Je pense qu'on peut affirmer que les deux champions, ce sont la Loi de Réciprocité Quadratique et le théorème de Pythagore.
    En troisième, je mettrais le théorème de D'Alembert-Gauss. Il présente l'intérêt d'avoir des démonstrations d'inspirations très différentes dans la part d'Algèbre et la part d'Analyse, celle-ci pouvant être réduite, mais jamais absente. Comme les ingrédients dans une recette de cuisine.
    Le livre que cite @agregagreg2 à ce sujet, c'est probablement : Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, Springer 1997. Je ne le connaissais pas, je viens juste de le parcourir. On trouve aussi, sur ce sujet, de nombreux articles et des chapitres dans d'autres ouvrages. Ce qui donne un nombre impressionnant de démonstrations, que je ne me hasarderai pas pour l'instant à dénombrer. J'aimerais une classification comme celle que nous a donnée Franz Lemmermeyer pour la Loi de Réciprocité Quadratique, ou bien E. S. Loomis pour le théorème de Pythagore.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.

  • SiouxLeger
    Modifié (14 Jan)
    Le livre "The Pythagorean Proposition" recense les différentes preuves du théorème de Pythagore: https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.84599/mode/2up (édition de 1940).

    Cette page rassemble 21 démonstrations de la formule d'Euler sur les polyèdres: https://ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
  • jean-éric
    Modifié (16 Jan)
    Bonjour
    Je n'ai pas vu passer ici, l'irrationalité de $\sqrt{2}$, voire de $\sqrt{n}$ lorsque $n$ n'est pas un carré parfait.
    Jean-éric.
  • @jean-éric : As-tu une source utilisant le pgcd ?
  • Bonjour,
    IAG, concours des médianes d'un triangle...
    A+
    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • jean-éric
    Modifié (16 Jan)
    @gai requin
    je n'en sais rien, si j'avais vu passé un truc pareil accessible pour maths expertes je l'aurai mis au frais... mais comme je peine à retrouver rien qu'un doc concernant ce point sur mon ordi autant te dire que cela reste possible.

    On a déjà cela (qui ne répond en rien à ta question. je pense) https://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml qui donne pas mal de références. Est-ce exhaustif, pas sûr du tout. 
    À suivre donc.
    Amicalement,
    Jean-éric. 
  • Chaurien
    Modifié (16 Jan)
    La contribution de Piteux_gore m' a surpris, car jamais je n'aurais pensé à placer le point de concours des médianes dans ce sujet des théorèmes à nombreuses preuves, mais  réflexion faite, je la trouve pertinente.
    Avant la folie math-moderniste, il s'enseignait en France une belle géométrie de la Cinquième à la Terminale. La base c'était le programme de Quatrième, avec les triangles « égaux », les parallèles équidistantes, les parallélogrammes (et losanges et rectangles), etc. Regardez un manuel des années 1950-60, vous verrez. Les élèves apprenaient là ce que c'est qu'une démonstration, alors qu'aujourd'hui ils doivent attendre au mieux la Seconde. Merci, le « collège-unique ».  
    Je me souviens...
    Pour le point de concours des médianes, selon les manuels, je me souviens que nous avions   deux démonstrations.
    Démonstration 1. Soit un triangle $ABC$, soient $A', B', C'$ les milieux respectifs de $BC, CA,AB$. Soit $G$ l'intersection des médianes $AA'$ et $BB'$. La parallèle à $BB'$  issue de $C'$ (resp. $A'$) coupe $AC$ en $M$ (resp. $N$).  On a : $AM=MB'=B'N=NC$. Les parallèles à $BB'$ issues respectivement de $A,M,B',N$ sont équidistanrtes, et elles coupent respectivement $AA'$ en $A,K,G,A'$. D'où $AK=KG=GA'$, et par suite $GA=2GA'$. Etc.
    Démonstration 2. Soit un triangle $ABC$, soient $ B'$ et $ C'$ les milieux respectifs de $AC$  et $AB$. Soit $G$ l'intersection des médianes $BB' $ et $CC'$. Soit $P$ (resp. $Q$)  le milieu de $GB $ (resp. $GC$). Dans le triangle $ABC$, la droite $C'B'$ est la droite des milieux, d'où $C'B'||BC$ et $C'B'=(1/2)BC$. Dans le triangle $GBC$, la droite $PQ$ est la droite des milieux, d'où $PQ||BC$ et $PQ=(1/2)BC$. Le quadrilatère $B'C'PQ$ est donc un parallélogramme. Le point $G$ est le milieu des diagonales de ce parallélogramme $B'C'PQ$, d'où : $B'G=GP=PB$, et par suite $GB=2GB'$, etc.
    Ces démonstrations ne sont pas inattaquables, elles sont tributaires de la figure, mais ce sont des démonstrations. Et ceci donnait déjà aux élèves un exemple de plusieurs démonstrations possibles, juste deux pour l'instant. Il y en a d'autres, dès qu'on connaît les vecteurs. ce qui n'était pas le cas de la Quatrième en 1958. Combien en aurons-nous ? Seront-elles en nombre digne de les dire  « nombreuses » ? Dis-le moi et je te le dirai, disait ma tante Jeanne.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • gai requin
    Modifié (16 Jan)
    $\newcommand{\gcd}{\operatorname{pgcd}}$@jean-éric. Merci, je donne ma preuve que je n'ai pas trouvée ailleurs.
    Soit $n,a,b\neq 0$ des entiers tels que $n=\dfrac{a^2}{b^2}$ et $a,b$ premiers entre eux.
    Alors $n=n\gcd(a^2,b^2)=\gcd(na^2,nb^2)=\gcd(na^2,a^2)=a^2$.
  • omega
    Modifié (16 Jan)
    Bonsoir à tous et merci pour vos réponses : j'en ai découvert beaucoup hier mais impossible de vous répondre.
    @Chaurien : On peut déjà commencer par les théorèmes dont le nombre de démonstrations est indiscutablement, disons, considérable. Déjà les trente démonstrations rassemblées par Michel Coste à propos du théorème de Cayley-Hamilton me semblent un effectif digne d'entrer dans notre propos. Il est difficile de donner une limite, et c'est à @Omega de décider, puisqu'elle a initié ce fil.
    D'accord avec la première partie : commençons par celles qui en ont beaucoup.
    J'ai coutume de dire à mes étudiants qu'il n'y a en général pas unicité de la preuve (en réponse à "est-ce qu'on aurait pu faire comme ci ?"). Donc si on liste tous les théorèmes qui ont au moins deux preuves, on n'est pas rendu (il serait plus rapide de lister les théorèmes qui n'en ont qu'une !).
    D'accord aussi avec la première partie de la conclusion : difficile cependant de fixer une limite...
    Pas trop d'accord que ce serait à moi de décider parce que j'ai initié le fil : on est là pour échanger, je ne suis pas propriétaire ni directrice ni quoi que ce soit de cette discussion.
    Bon après, si ça évite de partir dans tous les sens je peux proposer la borne inférieure de 5 preuves vraiment différentes.
    En tout cas merci à tous pour vos réponses ! Et en particulier, merci à @foys, @JLT, @Chaurien, @SiouxLeger, @jean-éric pour les références
  • L'hypothèse de Riemann   :smiley:
    Blague à part, bonne année à toi omega qui as le bon goût d'employer le subjonctif imparfait dont il eût été bon qu'on ne le dénigrât point !
  • Chaurien
    Modifié (17 Jan)
    « IAG », écrit @Piteux_gore, avare de mots. C'est sans doute l'inégalité des Moyennes Arithmétique et Géométrique. 
    Si $x_1,x_2,.., ,x_n$ sont des réels positifs, alors $\frac1n ( x_1+x_2+...+x_n) \ge \sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$, égalité ssi les $x_i$ sont tous égaux.
    Démonstration 1. Convexité. Ou plutôt concavité de la fonction $\ln$. C'est la Voie Royale.
    Démonstration 2. Convexité-sans-le-dire. Calcul sur la base du lemme $\ln x \le x-1$. C'est une inégalité de convexité, mais chut, il n'est pas indispensable de le savoir. Démonstration différente de la précédente, adaptée aux programmes d’enseignement dans lesquels le Législateur n'a pas cru bon d'inclure la convexité. J'ai trouvé cette démonstration dans une revue qui paraissait naguère, Les Humanités Scientifiques, concurrente chez Hatier du Journal de mathématiques élémentaires de Vuibert, toutes deux destinées aux lycéens candidats au baccalauréat.
    Démonstration 3. Récurrence classique. Passage de $n$ à $n+1$ au moyen d'une étude de fonction réelle d'une variable réelle, qui est le $x_{n+1}$.
    Démonstration 4. Calcul algébrique avec « récurrence à l'envers ». Vérification immédiate pour $n:=2$, puis pour $n:=2^p$. Et ensuite, si la propriété est vraie pour un $n \ge 3$, alors elle est vraie pour $n-1$ : remplacer $x_n$ par la moyenne arithmétique des autres $x_i$. Cette démonstration purement algébrique, très astucieuse, est due à Cauchy.
    Démonstration 5. Compacité. Soit $S>0$ et soit $K$ l'ensemble des $(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R^n$ tels que $x_i \ge 0$, $ x_1+x_2+...+x_n=S$. La fonction continue  $f:(x_1,x_2,...,x_n) \mapsto x_1x_2...x_n$ admet un maximum sur le compact  $K$. Ce maximum ne peut être atteint en un point de $K$  où l'un des $x_i$ est nul. Il ne peut être atteint non plus en un point où deux des $x_i$ sont distincts car à partir d'un tel point, on peut augmenter strictement $f(...)$ en remplaçant ces deux $x_i$ par leur moyenne arithmétique. Ce maximum est donc atteint pour $x_1=x_2=...=x_n=\frac S n$, etc. J'ai trouvé l'idée dans un vieux livre de Lefébure de Fourcy, et j'ai rajouté l'argument de compacité, car il ne justifiait pas l'existence du maximum, qui lui selmblait sans doute évidente.
    On pourrait modifier la 5 avec le calcul différentiel, mais on est à cinq, j'arrête :). Vous en connaissez sans doute d'autres, @Piteux_gore ou autres forumeurs.
    Bonne journée, encore froide mais bon, c'est de saison.
    Fr. Ch.


  • JLapin
    Modifié (17 Jan)
    @gai requin
    Quel est ton argument pour justifier que si $a\wedge b=1$, alors $a^2\wedge b^2=1$ ?
    Bézout répété deux fois fonctionne bien en fait ;)
  • @JLapin : Ou si $p$ premier divise $a^2$ et $b^2$, alors $p$ divise $a$ et $b$.
  • Je pensais que le but de ta preuve était justement d'éviter le recours aux nombres premiers. Sinon, si $b^2$ divise $a^2$, on a pour tout premier $p$, $2v_p(b)\leq 2v_p(a)$ donc $v_p(b)\leq v_p(a)$ donc $b$ divise $a$.
  • jean-éric
    Modifié (17 Jan)
    @gai requin
    merci pour ce magnifique raisonnement (original ?) ainsi qu'à @JLapin pour les compléments.

    J'ai enfin remis la main sur le document de synthèse que je cherchais... le voici.
    Jean-éric
  • Dans le même genre que l'inégalité arithmético-géométrique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz admet elle aussi une flopée de démonstrations possibles.
  • Piteux_gore
    Modifié (17 Jan)
    RE
    Pour les médianes, de mémoire :
    - par les aires
    - par Thalès
    - par Ceva
    - par Toutatis
     - par le barycentre
    - par les vecteurs
     - par les complexes
     - par la géométrie analytique (repère oblique construit sur deux côtés du triangle).
    A+
    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • Chaurien
    Modifié (17 Jan)
    Et par Bélénos ?
    C'est bon, on a les cinq ;).
  • Math Coss
    Modifié (17 Jan)
    Pour l'IAG, deux autres idées dans la première épreuve du CAPES 2004 :
    • la fonction $\phi:[0,1]\to\R$, $t\mapsto\prod_{k=1}^n\left[x_k+\frac{t}n\sum_{j=1}^n(x_j-x_k)\right]$ est strictement croissante (indication : utiliser $(\ln\circ\phi)''$) – c'est manifestement « de la convexité sans le dire » ;
    • on montre sans calcul différentiel les trois propriétés suivantes :
      • si les $x_k$ ne sont pas égaux, on note $m=\min(x_k)$ et $M=\max(x_k)$ ; on remplace $m$ et $M$ par $(m+M)/2$, ce qui ne change pas la moyenne arithmétique et augmente strictement la moyenne géométrique ;
      • l'IAG en général résulte du cas où $\sum_{k=1}^nx_k=1$ ;
      • l'application $\psi:(x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto\bigl(1-\sum_{j=1}^{n-1}\bigr)\prod_{j=1}^{n-1}x_j$ admet un maximum sur l'ensemble $\Omega$ des $(n-1)$-listes telles que $x_j>0$ et $\sum_{j=1}^nx_j<1$ et il est atteint au seul point $(1/n,\dots,1/n)$.
  • Piteux_gore
    Modifié (17 Jan)
    RE
    $\Z$ est un fermé de l'espace métrique $(\R, |\cdot|)$.
    Résultant de deux trinômes.
    CNS pour qu'un polynôme de degré $3$ ait une racine double.
    Irrationalité de $\sqrt 2$.
    Maximum du produit de deux nombres de somme constante.
    A+

    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • Chaurien
    Modifié (17 Jan)
    Si $a \in \mathbb Z$ et  $b \in \mathbb Z$ sont premiers entre eux, alors il existe $u \in \mathbb Z$ et $v \in \mathbb Z$ tels que $au+bv=1$ (Bachet-Bézout). 
    En conséquence : $a^2 u^2(au+3bv)+b^2v^2(3au+bv)=1$, et par suite  $a^2$ et $b^2$ sont premiers entre eux.
  • jean-éric
    Modifié (17 Jan)
    Bonsoir
    Pour celles et ceux qui ne connaissent pas, le site de B. Nelsen spécialiste de Proof Without Words. https://sites.google.com/a/lclark.edu/nelsen/
    En bas de page par année, celle de 2012 (une preuve du théorème de Pythagore)

    2. "Proof without words: The triple angle sine and cosine formulas" (with C. Alsina), Mathematics Magazine, 85 (2012), p. 43. PDF

    3. "Proof without words: The Pythagorean theorem with equilateral triangles" (with C. Alsina), The College Mathematics Journal, 43 (2012), p. 226. PDF

    5. "Proof without words: An alternating series," The College Mathematics Journal, 43 (2012), p. 370. PDF

    6. "Proof without words: Runs of triangular numbers" (with H. Unal), Mathematics Magazine, 85 (2012), p. 373. PDF

    Jean-éric

  • Chaurien
    Modifié (17 Jan)
    @jean-éric, Ton document sur l'irrationalité de $\sqrt 2$ est des plus intéressants, et mieux vaudrait donner toutes les informations à son sujet :
    V. C. Harris, On Proofs of the irrationality of $\sqrt 2$, The Mathematics Teacher, Vol. 64, No 1, January 1971, pp. 19-21.
  • jean-éric
    Modifié (17 Jan)
    @Chaurien
    Je note cela, et ferai ce travail à l'avenir important à l'avenir si c'est nécessaire.
    Bonne soirée et merci.
    Jean-éric.
  • Chaurien
    Modifié (17 Jan)
    Voir : Benoît Rittaud, Le fabuleux destin de $\sqrt 2$, Le Pommier, 2006, 452 pages, comprenant une vingtaine de démonstrations de l'irrationalité de $\sqrt 2$, et bien d'autres choses sur ce nombre.
  • Cidrolin
    Modifié (18 Jan)
    On peut donner de nombreuses preuves de l'infinité des nombres premiers. On note $P$ le produit des $n$ premiers nombres premiers.
    Dans la preuve d'Euclide on envisage la factorisation de $1+P$.
    La même conclusion s'obtient avec le nombre : $6+P/2+P/3$.
    Si $n\geq33$, on peut regarder la factorisation de $77777777+\dfrac{P}{77777777}$.
  • Ce que tu veux dire, c'est qu'en utilisant le fait qu'il y a une infinité de nombres premiers on peut donner une infinité de preuves de ce fait à l'aide de $P_{n_0}+P_n/P_{n_0}$ ?
  • RE
    Pour le concours des médianes, il y a aussi la mécanique :smile:
    le centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène appartient à chaque médiane, car elle partage le triangle en deux zones d'aires égales.
    A+
    On apprend de tout sauf de ses erreurs. (Tedonxikon de Mycènes)
  • Ben314159
    Modifié (18 Jan)
    Salut,
    Bien qu'étant une bille en physique, j'ai un peu des doutes concernant le fait que, dans une plaque homogène, il suffise de savoir qu'un axe coupe une surface en deux parties de même aire pour en déduire que la droite passe par le centre de gravité de la surface.
    N'y aurait-il pas un tout petit peu la distance des masse par rapport à la droite qui compte ? 
    (« Donnez-moi un point d’appui et je soulèverai le monde »)

    D'ailleurs, je ne sais pas s'il y a une explication triviale (i.e. avec zéro calculs) concernant le fait que le centre de gravité d'un triangle "massique", c'est l'isobarycentre des sommets du triangle. (et, comme mini casse-tête, on peut se demander quels sont les quadrilatères tels que le centre de gravité "massique" soit l'isobarycentre des 4 sommets).
  • Cidrolin
    Modifié (18 Jan)
    Math Coss Oui en généralisant la méthode de Stieltjes on peut en trouver des tonnes.

  • Bonjour,
    Le théorème du point fixe de Brouwer admet différentes preuves assez différentes (topologique, différentielle, topologique/combinatoire, etc.)
  • adrien2019
    Modifié (18 Jan)
    Bonjour,
    Pour Cayley-Hamilton, un document déjà cité dans ce fil propose 30 démonstrations. On peut ajouter à celles-ci la preuve visuelle proposée dans le numéro 128 de Quadrature (qui reprend une preuve standard mais en y ajoutant un schéma intéressant permettant de bien visualiser les choses).
    Noter aussi que pour beaucoup de théorèmes, il existe de nombreuses "fausses preuves", qui sont parfois intéressantes et permettent (même si elles sont fausses) d'améliorer sa compréhension des choses. Par exemple, toujours pour Cayley-Hamilton, il y a la fausse preuve classique: remplacer $X$ par $A$ dans $\det (X I_n - A)$ et conclure en disant que ça fait $\det (A-A) = 0$.
    Le livre Inequalities de Beckenbach et Bellman commence par pas moins de 12 démonstrations de l'inégalité arithmético-géométrique, toutes par une méthode différente, permettant ainsi de balayer un large spectre de méthodes standards sur les inégalités. Cela peut peut-être intéresse (entre autres) @Chaurien .
  • Chaurien
    Modifié (18 Jan)
    En effet, il y a des droites qui passent par le centre de gravité d'un triangle  et qui ne le coupent pas en deux parties d'aires égales. J'ai même l'impression que parmi ces droites, seules les médianes  le coupent en deux parties d'aires égales. Il ne doit pas être très difficile de trouver entre quelles bornes se situe le rapport entre les deux aires découpées dans un triangle par une droite passant par le centre de gravité. Ce peut être un bon problème pour... quelle classe en 2024 ? Seconde ?
    Réciproquement, les droites qui découpent un triangle $ABC $ en deux parties d'aires égales et qui rencontrent les côtés $AB$ et $AC$ ne passent pas nécessairement par le centre de gravité. Ces droites forment une famille qui enveloppe un arc d'hyperbole. Il me semble me souvenir que j'avais posé naguère tout crûment : « Soit un triangle $ABC$ d'aire $S$ ; déterminer l'aire de la partie du plan qui est l'ensemble des points par lesquels passent trois droites partageant chacune le triangle en deux parties d'aires égales ».
  • Bonsoir,

    En ce qui concerne la démonstration du fait qu'il existe une infinité de nombres premiers, cette preuve (bien connue je pense) mérite le détour 
    https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/primestopology.pdf

    Jean-éric.
  • Renart
    Modifié (19 Jan)
    Je crois que personne n'a cité de constructions/démonstration d'existence comme celles de l'exponentielle ou de $\C$. Par exemple pour l'exponentielle on pourrait noter :
    1)$\lim (1+x/n)^n$
    2)$\sum_{k=0}^\infty x^k/k!$
    3)Par le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
    4)Comme réciproque du logarithme, lui même construit, par exemple, comme primitive de $x\mapsto 1/x$.
    5)Via l'approximation de $a^x$ par $a^{p/q}$ avec $p$ et $q$ entiers.

    Pour la construction de $\C$ :
    1)Par identification à $\R^2$.
    2)Par clôture algébrique de $\R$.
    3)Par complétion de $\Q[i]$ ou $\overline \Q$.
    4)Par quotient : $\R[X]/(X^2+1)$.
    5)Comme un sous-espace de $M_2(\R)$.

    Sinon pour le théorème des nombres premiers l'infinité des nombres premiers il y a une preuve que j'aime bien car elle a le mérite de donner une minoration explicite de $\pi(x) = \#(\mathscr P \cap [0;x])$. On se donne $p_1,\ldots,p_n$ des nombres premiers et pour $N\geq 2$ entier on regarde l'ensemble
    \[A_N = \left\{\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i} \left| (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in \N^n \text{ et } \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i} \leq N\right.\right\}. \]
    On montre facilement que $\alpha_i \leq \ln(N)/\ln(2)$ et on en déduit que
    \[\# A_N \leq \left(\frac{\ln(N)}{\ln(2)}+1\right)^n. \]
    Mais si $p_1,\ldots,p_n$ contient tous les nombres premiers de $[0;N]$ alors la décomposition en produit de nombres premiers nous donne $\#A_N=N$. Un deuxième coup de logarithme nous donne
    \[\frac{\ln(N)}{\ln\left(\frac{\ln(N)}{\ln(2)}+1\right)} \leq n\]
    ou encore
    \[\frac{\ln(N)}{\ln\left(\frac{\ln(N)}{\ln(2)}+1\right)} \leq \pi(N).\]
  • Ce n'est pas exactement le théorème des nombres premiers, mais c'est effectivement une preuve quantitative de l'existence d'une infinité de nombres premiers. La preuve historique d'Euclide donne simplement la minoration $\log \log n \ll \pi(n)$ !
  • Chaurien
    Modifié (19 Jan)
    Le théorème d'Euclide affirmant l'infinitude des nombres premiers (à distinguer effectivement du TNP) est un de ceux qui ont eu le plus grand nombre de démonstrations dans l'histoire des mathématiques. Il caracole en tête, avec le théorème de Pythagore et la Loi de Réciprocité Quadratique.
     L'extrait fourni par Cidrolin provient d'un article de 2018 de Tomohiro Yamada : 
                                                                  https://tyamada1093.web.fc2.com/math/files/infprime.pdf
                                                                 https://tyamada1093.web.fc2.com/math/
    Cet article offre 17 preuves, plus des références bibliographiques qui en donnent bien d'autres.
  • Renart
    Modifié (19 Jan)
    @Poirot : Ah oui c'est vrai ça, je ne sais pas pourquoi mais je n'avais jamais songé au fait que la preuve d'Euclide donnait aussi une minoration de $\pi(n)$. Idem pour la preuve utilisant les nombres de Fermat d'ailleurs, on trouve une minoration de $\pi(n)$ de l'ordre de $\ln(\ln(n))$. La preuve que j'ai donnée parait moins spéciale d'un coup 🙃

    J'ai corrigé mon message précédent, il fallait bien sûr lire "infinité des nombres premiers" au lieu de "théorème des nombres premiers" ! On est effectivement bien loin du théorème des nombres premiers avec des minorations en $\ln(n)$ ou $\ln(\ln(n))$.

    PS : La preuve que j'ai donnée ici se rapproche pas mal de celle attribuée à Erdős dans le document donné par Chaurien. Mais la minoration de $\pi(n)$ donnée par Erdős est meilleure que la mienne.
  • Chaurien
    Modifié (19 Jan)
    @Ben314159 demande s'il y a une explication « triviale » du fait que le centre de gravité d'un triangle « massique » est l'isobarycentre de ses trois sommets. 
    Dans le cadre de l'IREM Paris-Nord, j'avais lancé naguère une éphémère petite revue dénommée Le Pied carré et j'avais fait un article « Barycentre et centre de gravité en classe de Seconde », janvier 1979, ça ne nous rajeunit pas. J'écrivais que si une partie bornée du plan admet un axe de symétrie oblique, alors son centre de gravité se situe sur cet axe. Chaque médiane d'un triangle est un axe de symétrie oblique, aussi bien pour l'ensemble de ses trois sommets que pour l'ensemble des points de la plaque triangulaire. C'est peut-être une explication demandée.
    • Il demande aussi quels sont les quadrilatères tels que le centre de gravité « massique » soit l'isobarycentre des 4 sommets. Ce sont les parallélogrammes. Je vais ouvrir un nouveau fil à ce sujet, qui est distinct de celui dont nous nous occupons ici.
  • @omega et @Chaurien voici l'extrait dont je parlais pour l'inégalité arithmético-géométrique (en espérant que ça vous plaise).
    Quelqu'un connait-il d'autres preuves du théorème de Cayley-Hamilton que celles que j'ai citées plus haut?
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