Rayon de convergence d'une somme de séries entières

zorg

Voici un exercice assez classique.

Soit $A \in \mathscr{M}(\mathbf{C})$. Déterminer le rayon de la série entière $\sum_{p\ge0}\mathrm{Tr}(A^p)z^p$ et calculer sa somme en fonction du polynôme caractéristique de $A$.

C'est la première question qui m'intéresse. La matrice $A$ est trigonalisable : $A=PTP^{-1}$ avec $T$ une matrice triangulaire dont la diagonale est constituée par les valeurs propres (complexes) $\lambda_i$  de $A$ et $P$ est une matrice inversible. On a alors 

\[\mathrm{Tr}(A^p) = \mathrm{Tr}(PT^pT^{-1}) = \mathrm{Tr}(T^p) = \sum_{i=1}^n\lambda_i^p\] La série entière $\sum_{p\ge0}(\lambda_iz)^p$ est une série géométrique de rayon $R_i = \frac{1}{|\lambda_i|}$ si $\lambda_i \neq0$. On a $R_i = +\infty$ si $\lambda_i=0$.

Si on pose $R = \frac{1}{\max_{1 \le i \le n}|\lambda_i|}$ (=$\min_{1\le i\le p}R_i$), pour tout complexe $z$ tel que $|z| \le R$, on a par somme de séries convergentes :

\[\sum_{p=1}^{+\infty}\mathrm{Tr}(A^p)z^p = \sum_{p=1}^{+\infty} \left( \sum_{i=1}^n\lambda_i^p\right)z^p = \sum_{p=1}^{+\infty} \left( \sum_{i=1}^n(\lambda_i z)^p\right)  =\sum_{i=1}^n \left(\sum_{p=1}^{+\infty} (\lambda_i z)^p\right) \]
On peut donc déjà dire que le rayon de la série entière $\sum_{p\ge0}\mathrm{Tr}(A^p)z^p$  est supérieur ou égal à $R$. En fait, j'aimerais montrer que le rayon est $R$. Je pensais utiliser le résultat sur la somme de deux séries entières : si $\sum_{p\ge0}a_pz^p$ et $\sum_{p\ge0}b_pz^p$ ont pour rayon respectif $R_a$ et $R_b$ et si $R_a \neq R_b$ alors le rayon de $\sum_{p\ge0}(a_p+b_p)z^p$ est $\min(R_a,R_b)$.

Mais ici les rayons ne sont pas forcément distincts. Comment rédiger proprement afin de montrer que le rayon de $\sum_{p\ge0}\mathrm{Tr}(A^p)z^p$ est $R$ ?

MrJ

Si $z\in\C$ vérifie

$$\textrm{Tr}(A^p)z^p = \sum_{i=1}^n (\lambda_i  z)^p \xrightarrow[p\to +\infty]{}0,$$

alors il est classique (avec une récurrence sur $n$ ou en utilisant une matrice de Vandermonde) de montrer que $|\lambda_i z| < 1$ pour tout $i\in\llbracket 1,p\rrbracket$. Tu en déduis le résultat souhaité.

bisam

Tu peux aussi démontrer que si le rayon était strictement plus grand, alors il y aurait une contradiction car la fonction somme devrait être continue alors qu'il y a évidemment une discontinuité au niveau de l'un des pôles de la fraction rationnelle.

zorg

@bisam Ce qui m'embête c'est que si on suppose que le rayon est strictement plus grand $R$,  on ne peut pas vraiment utiliser l'égalité $\sum_{p=1}^n\mathrm{Tr}(A^p) z^p = \sum_{i=1}^n\frac{1}{1-\lambda_iz}$ qui n'est valable que pour $|z|<R$.
En fait dès qu'on suppose que $|z|>R$ une ou plusieurs séries $\sum_{p\ge0} (\lambda_i z)^p$ divergent. On ne peut rien dire alors sur la nature somme  de la somme de toutes les séries entières.

@MrJ Je ne vois pas comment on fait pour la récurrence.

Poirot

Mais la formule valable pour $|z| < R$ implique que la fonction somme est non bornée au voisinage d'un $1/\lambda_i$, ce qui suffit à contredire la continuité en ce point.

zorg

Je comprends bien mais je cherche une rédaction propre. Ce qui me chagrine encore c'est qu'il y a peut-être plusieurs valeurs propres identiques. Dans ce cas lorsque $z$ est au voisinage de $1/\lambda_i$, on peut se demander si les fractions ne vont pas " se compenser  entre elles " et ainsi on obtiendrait une limite finie. Je sais que ce n'est pas le cas mais ça ne me paraît pas très simple à écrire rigoureusement.

Poirot

$\frac{1}{1-\lambda z} + \frac{1}{1 - \mu z}$ est non bornée au voisinage de $\frac{1}{\lambda}$, même si $|\mu| = |\lambda|$, je ne vois pas ce qui te gêne ici.