Densité

zorg

Soit $E$ un evn dans lequel toute suite bornée possède une sous-suite convergente (espace séquentiellement compact).

1) Montrer qu'il existe un entier $n \ge 1$ et des vecteurs $y_1, \ldots,y_n$ de $E$ tels que 

$B(0,1) \subset \bigcup_{k=1}^n B(y_k,1/2)$ (toutes les boules sont supposées fermées).

2) En déduire que $\mathrm{vect}(y_1,\ldots,y_n)$ est dense dans $E$ puis que $E$ est de dimension finie. 

1) Ok. On raisonne par l'absurde ; on construit une suite de $B(0,1)$ qui n'admet aucune sous-suite convergente.

2) Je bloque sur la densité de $F:=\mathrm{vect}(y_1,\ldots,y_n)$.  Soit $x$ dans $E$. Soit $\varepsilon >0$. Il s'agit de montrer que $F \cap B_o(x,\varepsilon) \neq \emptyset$ ($B_o$ désigne une boule ouverte). Pour $x$ non nul, on peut de ramener dans la boule unité en considérant $x/\|x\|$. Donc il appartient à l'une des boules $B(y_k,1/2)$. Et après ? Une idée ?

YomGui

N'oublies pas que tu disposes d'une norme et donc que $2(x/\|x\|-y_k) \in B(0,1)$

Barjovrille

Bonjour, 
Je ne sais pas si il y a plus simple, je te donne des indications du chemin que j'ai pris. $B(0,1)$ c'est la boule unité fermé ? 
En reprenant tes notations je suppose que ton $x$ est dans la boule unité.
1) Soit $z \in E$, montre que $\displaystyle B(z,\tfrac{1}{2})= z+ \tfrac{1}{2}B(0,1)$ 

2) En utilisant 1) et le recouvrement de la boule unité par les boules centrées en les $y_i$ montre que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $\displaystyle B(0,1) \subset vect(y_1,\dots,y_n) +\frac{1}{2^k} B(0,1)$

3) Conclus sur la densité.

Barjovrille

Bon après réflexion c'est peut être à ça que YomGui pensait désolé pour la redondance.

zorg

Ok merci j'ai compris. Pour tout $x$ dans la boule unité, on crée une suite de $F=\mathrm{vect}(y_i)$ qui converge vers ce $x$.