Sets of sets

Martial
Modifié (9 Jan) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous et bonne année si je ne l'ai pas déjà dit.
Quelqu'un sait-il qui a écrit : "We are making set theory, so sets are sets... of sets".
Comme ça au pif et de vague mémoire j'aurais tendance à dire que c'est Donald Martin, mais je n'en suis pas certain.

Réponses

  • @Martial : bonsoir. J'espère que tu vas bien. Je suis heureux de te lire et te souhaite une bonne santé. Ce n'est pas la bonne citation ; la voici corrigée : We’re doing set theory, so “sets” are sets of sets.
    Plusieurs attestent qu'il s'agit de D. A. Martin ; tu n'auras aucun problème à trouver les dites sources sur le net, avec cette nouvelle version.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Merci Thierry. Mon intuition était bonne, mais j'avais légèrement modifié la phrase.
    A part ça je vais bien, et j'espère qu'il en est de même pour toi.
  • Foys
    Modifié (10 Jan)
    De toute façon (via l'axiome de fondation): 
    -un ensemble est un arbre (dont les noeuds terminaux sont l'ensemble vide)
    -un (nom d') ensemble est un arbre décoré avec des conditions de forcing ou simplement des éléments d'algèbre de Boole (EDIT: pour la partie alg-èbre de Boole il faut procéder un peu différemment de ce que je dis) complète (point de vue du forcing)
    -un (nom d') ensemble est un arbre décoré avec des dossiers à charge/ des environnements dans lesquels un programme s'exécute et qui pourraient le faire planter ou provoquer autre chose (point de vue de la réalisabilité classique).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Pffff t'es déprimant Foys ! Quand quelqu'un écrit cinq lignes comme les tiennes et qui ont l'air passionnantes, on est forcé de se lancer dans plusieurs années d'étude de livres difficiles. La dernière fois, c'était il y a pas loin de dix ans, Christophe a parlé de mécanique quantique, et j'ai pas encore fini de comprendre !
  • Foys
    Modifié (10 Jan)
    Je ferai un post plus détaillé je pense, le laïus ci-dessus est très loin de raconter toute l'histoire.

    Comment marchent les hiérarchies cumulatives? Soit $y=F(x)$ une relation fonctionnelle (i.e. une formule $F$ à deux variables libres $p,q$ telle que $\forall p \exists ! q, F$ est un théorème de ZF, et "$y = F(x)$ abrège $F[p:=x, q:= y]$", autrement dit $F(x)$ désigne "l'image de $x$ par $F$").

    On suppose que $(\dagger)$ pour tous $a,b$, $F(a) \subseteq F(b)$. On définit par induction sur les ordinaux: $V^F_{\alpha}:= \bigcup_{\beta < \alpha} F \left ( V^F_{\beta}\right )$. Les trois propriétés suivantes sont alors automatiquement vérifiées par $V^F$:
    (i) $V^F$ est croissante (pour tous ordinaux $\mu,\nu$, si $\mu \leq \nu$ alors $V^F_{\mu} \subseteq V^F_{\nu}$: ça c'est trivial par définition et serait encore vrai sans la condition $(\dagger)$)
    (ii) pour tout ordinal $\alpha$, $V^F_{\alpha+1} = F \left (V^F_{\alpha} \right)$.
    En effet:  $V^F_{\alpha+1} = V^F_{\alpha} \cup F\left ( V^F_{\alpha}\right )$. Or pour tout $x\in V^F_{\alpha}$, il existe $\beta < \alpha$ tel que $x\in F \left ( V^F_{\beta} \right)$. Mais comme $F$ est croissante (c'est là que $(\dagger)$ intervient), on a aussi $x \in F \left ( V^F_{\alpha} \right)$. Donc finalement $V^F_{\alpha} \subseteq F\left ( V^F_{\alpha}\right )$ et donc $V^F_{\alpha+1} = V^F_{\alpha} \cup F\left ( V^F_{\alpha}\right ) = F\left ( V^F_{\alpha}\right )$.
    (iii) Pour tout ordinal limite $\gamma$, $V^F_{\gamma} = \bigcup_{\delta < \gamma} V^F_{\delta} $.
    Pour le voir, soit $x\in V^F_{\gamma}$; il existe alors $\delta<\gamma$ tel que $x \in F\left ( V^F_{\delta}\right) = V^F_{\delta+1}$ par le point (ii) précédent. Mais comme $\gamma$ est limite, $\delta+1 < \gamma$ et donc $x\in \bigcup_{\delta < \gamma} V^F_{\delta} $ bref $V^F_{\gamma} \subseteq \bigcup_{\delta < \gamma} V^F_{\delta}$. L'inclusion réciproque est une conséquence immédiate de la croissance de $V^F$ démontrée au (i).

    Cette méthode est due à J.-L Krivine qui l'utilise plusieurs fois dans son livre. A vrai dire les traités courants préfèrent construire les hiérarchies cumulatives par distinction de cas via (ii) et (iii) ci-dessus mais c'est lourdingue (et pourquoi la relation fonctionnelle alors construite est croissante?).

    L'énoncé "$x \in V^F$" doit être compris comme une abréviation de "il existe un ordinal $\alpha$ tel que $x\in V^F_{\alpha}$".

    En fait l'intention derrière ces constructions est de faire vivre l'idée d'une "classe $V^F$ telle que $V^F = F \left ( V^F\right)$" autant que la rigueur le permettrait.

    Pour tout $x\in V^F$, le rang de "$x$ selon $F$",désigné ci-dessous par $rg_F(x)$, est le plus petit ordinal $\delta$ tel que $x \in V^F_{\delta}$ (il y a des gens qui préfèrent prendre $\delta +1$; dans tous les cas le rôle de cette notion est de faire des "raisonnements par induction sur le rang d'un objet")

    Exemples (la croissance de la relation fonctionnelle $F$ est évidente à chaque fois):

    1°) Bien évidemment l'exemple emblématique est la hiérarchie de Von Neumann, lorsque $F$ est l'ensemble des parties: $F(x,y):= y = F(x) := y = \mathcal P(x)$. On note $V_{\alpha}$ au lieu de $V^{\mathcal P}_{\alpha}$. L'énoncé "pour tout $x$, $x \in V^{\mathcal P}$" équivaut à l'axiome de fondation et donc, ouvre la porte à des raisonnements par récurrence sur le rang $rg_{\mathcal P}$ des ensembles.
    Il est clair qu'alors, par récurrence sur le rang, "tout ensemble est un arbre à feuilles terminales égales à l'ensemble vide" (une fois formalisé ce que voudrait dire "est un arbre": l'appartenance jouant le rôle de lien immédiat dans l'arborescence).

    2°) Soit $\mathbb P$ un  ensemble quelconque et $F(x):= \mathcal P (x \times \mathbb P)$.  Alors les éléments de $V^F$ sont des arbres dont les noeuds sont décorés par des éléments de $\mathbb P$. Dans les traités de forcing $\mathbb P$ est un ensemble ordonné et les éléments de $V^F$ s'appellent des "$\mathbb P$-noms"

    3°) Pour les modèles booléens valués du forcing (cf le livre de John Bell: Boolean valued models ou le livre de Jech: Set theory) on procède un peu différemment (il faudra que je corrige mon message précédent d'ailleurs).
    Soit $\mathbb B$ un ensemble quelconque (en pratique: une algèbre de Boole ou même de Heyting complète). On pose $F(x):=$ l'ensemble des fonctions dont le domaine est contenu dans $x$ et à valeurs dans $\mathbb B$.  

    Le forcing n'est rien d'autre qu'une nouvelle sémantique. Sa difficulté n'est pas d'interpréter par induction sur leur longueur les formules de théorie des ensembles -avec des domaines tels que ceux définis dans 2°) et 3°) dans des objets tels que des algèbres de Boole (ou autre structure algébrique qui contient des opérations logiques ad-hoc: ces sémantiques sont naturelles et intuitives) mais de définir l'interprétation des formules atomiques $x \in y$, $x = y$ d'une manière qui respecte l'extensionnalité (et qui fait que les bouquins usuels de ces notions contiennent des dizaines de pages de définitions absconses. Par eemple dans 3°) l'idée imédiate de poser "$x \in y:= y(x)$" ne marche pas pour $x, y \in V^F$. Mais il existe une astuce ... Voir des messages ultérieurs quand j'en aurai le temps :p ).

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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