Calcul de probabilité - numéros consécutifs

Bbidule

Bonsoir à tous

Soit $n\in\N^*$.
Soit $p\in ]0,1[$.
Soit $S$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(n,p)$.
On effectue un tirage simultané de $S$ boules dans une urne comportant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$.
On souhaite calculer la probabilité de n'obtenir que des numéros consécutifs.

J'obtiens une formule "kilométrique" qui ne se simplifie manifestement pas bien dans le cas $p\neq \frac{1}{2}$ (aucun souci a priori pour le cas $p=\frac{1}{2}$).
Quel résultat obtenez-vous ?
En vous remerciant par avance.

Bibix

Bonjour,
J'obtiens $\displaystyle(1-p)^n + \sum_{k=1}^n k p^{n+1-k} (1-p)^{k-1}$ ce qui se simplifie assez bien.

gebrane

Bonjour à ceux qui ont mis le pied dans ce fil.
Un vrai casse-tête. Deux phénomènes aléatoires : le nombre de tirages et la prise des boules.
Je bloque, @Oshine help me.  À toi qui es fort en probabilités.

Bibix

La vraie question, c'est surtout : Qu'est-ce qu'un tirage de $0$ boules ? Est-ce forcément un tirage de nombres consécutifs ? Ce tirage est-il aussi vide que notre existence  ? J'ai pris une convention classique pour le résultat ci-dessus mais ce n'est peut-être pas la même que celle de l'OP.

Foys

@Bibix les tirages n'existent pas en maths, il n'y a que des produits d'espaces mesurables $\prod_{i \in I} X_i$ munis de tribus idoines et de mesures ad-hoc comme la mesure produit (lorsqu'elle existe: par exemple lorsque tous les $(X_i)_{i \in I}$ sont des espaces topologiques compacts munis de leur tribu borélienne). Lorsque $I$ est vide on tombe sur un singleton.

Georges Abitbol

On peut modéliser ça de la façon suivante, non ?
Pour tout $i$, on tire la boule numéro $i$ avec probabilité $p$, et ce indépendamment des autres $i$.

De là, on obtient très vite la formule de Bibix en conditionnant sur le nombre de boules tirées.

gebrane

Ne me laissez pas mourir ignorant. Quelqu'un peut-il me donner les détails pour n=4?

Etienne

On utilise la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements $[S=k]_{0\leq k \leq n} $. Lorsqu'on tire $k$ boules, il y a $n-k+1$ tirages où les numéros des boules sont successifs (chacun de ces tirages est déterminé par le plus petit numéro présent). Comme il y a $\binom{n}{k}$ tirages possibles, on obtient ainsi la probabilité d'avoir des numéros successifs lorsque l'on tire k boules, puis le résultat de Bibix par changement d'indice. 

Georges Abitbol

On prend "mon" modèle, donc soient $(X_i)_{i \in n}$ des variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$.

Soit $A$ l'événement "les boules ont des numéros consécutifs". Soit, pour tout $k \in \{0,\cdots, n\}$, $A_k$ l'événement "les boules ont des numéros consécutifs et il y en a $k$" ; soit enfin, pour tout $i$, $A_{k,i}$ l'événement "les boules ont des numéros consécutifs et il y en a $k$ et la première boule est $i$". Alors $\mathbb{P}(A_{k,i}) = p^k(1-p)^{n-k}$ si $0 \leq i < n+1-k$ et $0$ sinon. Alors $\mathbb{P}(A_k) = \sum_i \mathbb{P}(A_{k,i}) = (n+1-k)p^k(1-p)^{n-k}$. Et donc $\mathbb{P}(A) = \sum^n_{k=0} \mathbb{P}(A_k) = \sum^n_{k=0}(n+1-k)p^k(1-p)^{n-k}$.

Bbidule

Merci Bibix, pour ta réponse, j'obtiens la même chose que toi (avec en particulier la même "interprétation" de $\mathbb{P}_{[S=0]}$).

Cependant, la formule que j'obtiens à la fin dans le cas $p\neq \frac{1}{2}$ (après application d'une formule bien connue mais "lourde": $\displaystyle\sum_{k=0}^nkx^{k-1}=...$ valable pour tout $n\in\N$ et $x\in\R\setminus\{1\}$) ne se simplifie pas bien, je pensais alors être passé à côté d'une factorisation plus ou moins astucieuse, d'où mon message initial !

gebrane

Merci à tous, et un merci particulier à @Georges Abitbol pour avoir bien précisé les évènements en jeu.

Bbidule

Pour information: cet exercice est le numéro 883 de la RMS 134-1 (Mines-Ponts MP-MPI 2023)

gebrane

Bonsoir  Bbidule
Si on se propose de calculer la probabilité
A: d'avoir que des numéros pairs avec les mêmes hypothèses dans l'ordre
B: d'avoir que des numéros pairs avec les mêmes hypothèses dans le désordre  
Je vais y réfléchir.

Bbidule

Bonsoir Gebrane,

SI j'ai bien compris, tu veux remplacer "consécutifs" par "pairs" ?
Le tirage s'effectuant de manière simultanée, qu'appelles-tu "ordre" et "désordre" dans le présent contexte ?
Bien à toi

gebrane

ordre par exemple les numéros pairs apparaissent dans l ordre 2   8  10 ....
en désordre 2  6  4   10  8  ...