Sous-recouvrement minimal

Bonjour (et bonne année, il est encore temps),
Un petit problème de théorie des ensembles que je me suis posé  (parce que la réponse peut avoir un aspect pratique en topologie) et sur lequel je bloque. La seule théorie que je connais sur le sujet est ZFC.
D'abord je définis les termes tels qu'on les entend dans le problème.
  1.  On dira ici de $A$ qu'il est recouvrement de $E$ si $A$ est un ensemble de parties de $E$ dont l'union est égale à $E$ (c'est une définition plus restrictive que celle qu'on utilise en topologie, mais pas envie de complexifier le problème).
  2.  On dit que $A$ est recouvrement minimal de $E$ si c'est un recouvrement de $E$ et qu'en plus pour chaque élément de $A$ il existe un élément de $E$ qu'on ne trouvera dans aucun autre élément de $A$ ($\forall x \in A, \ \exists z \in E, \ \forall y \in A, \ z\in y \implies y = x$)
 La question donc : soit $A$ un recouvrement de $E$, existe il un recouvrement de $E$ contenu dans $A$ qui soit minimal ?

  Je sais que c'est vrai si $A$ est de cardinal fini. Et j'ai dans un premier temps pensé que c'était vrai.
 Ce que j'ai tenté pour le moment.
  1.  La méthode directe. Chercher à utiliser le lemme de Zorn. Il faut pour cela montrer que l'intersection d'une chaîne de recouvrements contenus les uns dans les autres est un recouvrement. Si ça a l'air vrai, ce n'est pas si évident que ça, j'en suis même venu à me demander s'il n'y avait pas une histoire de fondation là-dessous.
  2. La méthode inversée : utiliser l'axiome du choix pour ajouter petit à petit des éléments de $A$ à un ensemble déjà minimal. Il suffit d'y réfléchir deux minutes pour se rendre compte que c'est mort, il se peut que certaines adjonction finisse de recouvrir d'autre éléments déjà présent (alors après, on pourrait complexifier, mais ça va être sale).
Quelqu'un a une idée ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Bonsoir Titi
    Il faut pour cela montrer que l'intersection d'une chaîne de recouvrements contenues les unes dans les autres est un recouvrement.

    Qui sont "contenues les unes dans les autres" ?
    AD

  • Salut,
    Concernant ton point 1. avec le lemme de Zorn, il me semble que ça ne marche pas : 
    Si pour tout $a\!\in\!{\mathbb N}^*$ on prend $A_a=\{b{\mathbb Z}\!+\!r\mbox{ avec } b\!\geqslant\!a\mbox{ et }r\!\in\!{\mathbb Z}\}$ alors les $A_a$ forment une suite décroissante (pour l'inclusion) de recouvrement de $\mathbb Z$ dont l'intersection est vide.
  • Titi le curieux
    Modifié (8 Jan)
    @AD Oups désolé, c'est les recouvrement qui sont les uns dans les autres, je ne sais pas pourquoi j'ai passé au féminin. Je corrige ça tout de suite. Merci
    @Ben314159. Super le contre-exemple, merci. Du coup, je vais laisser de côté la recherche d'un ordre inductif.
  • Titi le curieux
    Modifié (8 Jan)
    Re-bonsoir
     J'ai pris exemple sur Ben3143159 et ai commencé à chercher d'autres contre-exemples.
      L'ensemble des intervalles $[1/n,1]$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ est un recouvrement de $]0,1]$, aucun sous-recouvrement minimal possible.
    En même temps, j'étais surpris que les recherches internet sur le sujet ne donnent rien.
    Bon, ben, ça de moins à penser.
    Merci beaucoup pour vos interventions.
  • raoul.S
    Modifié (8 Jan)
    Je crois qu'avec la condition suivante Zorn devrait fonctionner : si le recouvrement est localement fini alors il existe un sous-recouvrement minimal.
    Localement fini veut dire ici que pour tout $x\in E$ il n'existe qu'un nombre fini d'éléments de $A$ qui contiennent $x$.
    PS : après j'imagine que ça devient nettement moins intéressant...
  • Titi le curieux
    Modifié (8 Jan)
    Cool! Un nouveau problème! Merci Raoul.S.

    Edit : ça marche. Par l'absurde: supposons que l'intersection $U$ des éléments d'une chaîne $(U_n)_{n \in F}$ ($F$ ensemble totalement ordonné, et pour deux élément $i$ et $j$ de $F$ $i<j \implies U_j \subset U_i$) n'est pas un recouvrement. Alors soit $x$ un élément de $E$ qui n'est pas dans $U$, pour chaque élément du recouvrement initial $A$ qui contient $x$ il existe un élément de la chaine qui ne le contient pas. Une partie finie d'un ensemble totalement ordonné possède un plus grand élément, le $U_i$ correspondant ne contient aucun élément contenant $x$ et n'est donc pas un recouvrement.

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