Loi du quotient de deux normales

Ch4rstz

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de lois normales centrées réduites. Comment montrer que $X/Y$ est une var suivant une loi de Cauchy. 

J'ai essayé de passer par la fonction de répartition, et les changements de variables en deux dimensions (x, x/y) et (x+y, x/y) sans jamais parvenir à conclure. Quelqu'un a une idée ? Je suis sûr d'avoir déjà fais cette exo une fois en utilisant des outils similaires à ceux que j'ai cité mais là je bloque

Chaurien

Voici comment je présentais ça aux temps anciens où je collais en BCPST.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

LeVioloniste

On considère la loi conjointe de $(X,Y)$ donnée par $\mathbb{P}_{(X,Y)}(x,y)=\frac{x}{y}$ définie sur $\mathcal{V}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2, y \neq 0 \}$

Soit $h$ une fonction boréliene sur $\mathbb{R}$, avec la technique de la fonction muette,

$\mathbb{E}(h(Z))=\displaystyle{\int_\mathbb{R} h(z) d\mathbb{P}_Z(z)=\int_\mathcal{V} h(x/y) d\mathbb{P}_{(X,Y)}(x,y)}$

On considère le $\mathcal{C}^1$ difféormphisme $\phi(x,y)=(uv,v)$. On a  $Jac(\phi(x,y))=((v,u)(0,1))$ et $|det(Jac(\phi(x,y)))|=|v|$ avec $\phi$ de $\mathcal{V}$ vers $\mathcal{U}=\{(u,v) \in \cdots \}$ avec $\displaystyle{ \int_\mathcal{V} h(x/y) \frac{1}{\sqrt{2.\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}.\frac{1}{\sqrt{2.\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}} dx dy = \int_\mathbb{R}  h(u)  \frac{1}{2.\pi}  \int_{\mathbb{R}^+} e^{-1/2.v^2(u^2+1)}. |v| dv du =  \int_{\mathbb{R}}  h(u)  \frac{2}{2.\pi}  \int_{\mathbb{R}^+} e^{-1/2.v^2(u^2+1)}. v dv du = \int_{\mathbb{R}}  h(u)  \frac{1}{\pi} \big[  -\frac{e^{-1/2.v^2(u^2+1) } }{u^2+1} \big]_0^{+\infty} du = = \int_{\mathbb{R}}  h(u)  \frac{1}{\pi} \frac{1 } {u^2+1} du }$

Et on identifie la densité de Cauchy.

Ch4rstz

Merci à tout les deux pour ces deux méthodes !