Transformation de Hilbert ? Kesako

Greg0606

Bonjour à tou(te)s
Tout d'abord, meilleurs vœux pour cette nouvelle année...
Afin de vous donner une idée sur mon niveau en math, je suis en terminale S. Je suis passionné par les satellites et la réception de leurs signaux. Dans le but de commencer à comprendre comment on pouvait passer de signaux radio à une image j'ai utilisé comme exemple les satellites NOAA (Satellites Météo).
J'ai réussi à enregistrer les signaux lors d'un passage du satellite NOAA 19 sous forme d'un fichier .wav.
Ensuite, en lisant le code en python d'un décodeur basique en Python, je "tombe" sur l'appel à une fonction "transformation de Hilbert" mais impossible de comprendre de quoi il s'agit ? 
Pourriez-vous, s'il vous plait, avec des mots le plus simples possibles et en tenant compte de mon maigre bagage en math, tenter de m'expliquer en quoi consiste cette transformation ?
Un très grand merci pour votre aide et votre patience,
Samuel

gerard0

Bonjour.
Tu peux obtenir des renseignements avec ton moteur de recherche, par exemple sur Wikipédia. Par contre, ce n'est pas un outil élémentaire, il faut quelques notions de maths post-bac (disons bac+2) pour bien comprendre. Donc, dans un premier temps, tu peux considérer ça comme une "boite noire". Et ça te motivera pour l'apprentissage des complexes, de l'intégration, et même de certaines distributions (au sens de Schwartz), dans tes études des prochaines années.

Cordialement.

Georges Abitbol

L'objet mathématique représenté par ton fichier .wav est appelé "signal". La transformée de Hilbert est quelque chose qui mange un signal, qui recrache un signal. Je crois qu'on peut inverser le procédé, autrement dit, la transformée de Hilbert ne fait que "changer la façon dont le signal se présente". Il y a d'ailleurs plein de transformées qui font ça aussi. Et en fait, chacune présente le signal d'une façon pratique pour telle ou telle application. Dans ton cas, il est probablement hors de portée pour toi (pour moi aussi, d'ailleurs) de comprendre en profondeur pourquoi la transformée de Hilbert est efficace ; mais tu peux raisonnablement supposer que c'est le cas.

De toute façon, ce n'est pas toi qui vas coder la transformée de Hilbert, n'est-ce pas ?

Pour comprendre un peu la transformée de Fourier (il me semble que la transformée de Hilbert est une "variante" de la transformée de Fourier), tu peux regarder des vidéos de 3blue1brown sur YouTube (en anglais) à propos de la transformée de Fourier, les belles visualisations te parleront peut-être... Et sinon, il faudra probablement attendre deux ou trois ans d'études scientifiques.

Renart

Pour comprendre la transformation de Hilbert le mieux est probablement  de comprendre au préalable la transformation de Fourier. De façon très schématique un signal $f$ (une fonction) peut être représenté par les valeurs qu'il prend au cours du temps. Mais on peut choisir de représenter ce signal de façon différente à l'aide de la transformation de Fourier, cela revient alors à décrire non plus les valeurs prises par ce signal mais plutôt à décrire les fréquences de ce signal : pour chaque fréquence on décrit avec quelle force elle se présente dans le signal $f$. Ceci donne une fonction $\mathcal F(f)$ qui est la transformée de Fourier de $f$. Par exemple si $f$ est le son émis par un diapason on obtient (quasiment) une fréquence pure à 440 Hertz, la transformée de Fourier sera alors une fonction (quasiment) nulle partout sauf en 440. Cette transformation $\mathcal F$ s'exprime simplement à l'aide d'intégrales et on est de plus capable d'inverser cette transformation à l'aide d'autres intégrales. Ceci a une conséquence fondamentale : deux signaux ont la même transformée de Fourier si et seulement si ils sont égaux. Autrement dit : $f=g \Leftrightarrow \mathcal F(f) = \mathcal F(g)$.

La transformation de Hilbert $\mathcal H$ d'un signal $f$ se comprend alors simplement comme $\mathcal H(f) = \mathcal F^{-1} \circ M_h \circ \mathcal F $ où $M_h$ est la multiplication par la fonction $h : x \mapsto -i \mathrm{sgn}(x)$ et $\mathrm{sgn}$ est la fonction signe. Autrement dit $\mathcal H(f) = \mathcal F^{-1}(h\times \mathcal F(f))$. Pour effectuer la transformation de Hilbert on commence donc par exprimer le signal à l'aide de ses fréquences via une transformation de Fourier, on modifie alors les fréquences de ce signal en les multipliant par la fonction $h$ puis on effectue la transformation de Fourier inverse pour repasser d'un ensemble de fréquences à un nouveau signal, différent de celui de départ. C'est donc un principe similaire à celui d'un filtre passe-bas : on exprime le signal sous forme de fréquences, on modifie la puissance des fréquences présentes (en enlevant celles qui sont trop élevées dans le cas d'un filtre passe bas) puis on ré-exprime les nouvelles fréquences obtenues sous forme d'un signal. Par exemple un filtre passe-bas pourrait se représenter par $\mathcal F^{-1} \circ M_{\chi} \circ \mathcal F$ et $\chi(x) = 1$ si $x\in [-20000;20000]$ et $0$ sinon.  Ce filtre aurait pour effet de couper toutes les fréquences supérieures à 20 000 Hertz, qui son inaudibles pour l'oreille humaine.

@Georges Abitbol : Ma réponse indique qu'effectivement la transformation de Hilbert est inversible (à condition de se placer sur les bons espaces)