Loi conditionnelle de mouvement brownien

Darksasukee

Bonjour, j'ai une question s'il vous plaît concernant la loi conditionnelle d'un mouvement brownien sachant le step d'avant et celui d'après, pour être plus clair, voici l'énoncé.

We have  $\mathcal{B}_{h}$ the $\sigma$-field generated by the $\left(S_{t_{k}}, k=0, \ldots, N\right)$ with $S_{t}=S_{T_{0}} \exp \left(\sigma W_{t}-\frac{\sigma^{2}}{2} t+r t\right)$
The law of $W_{u}$ with respect to $\mathcal{B}_{h}$ for $u \in\left[t_{k}, t_{k+1}\right]$, $h=t_{k+1}-t_{k}$, is given by
$\mathcal{L}\left(W_{u} \mid W_{t_{k}}=x, W_{t_{k+1}}=y\right)=\mathcal{N}\left(\frac{t_{k+1}-u}{h} x+\frac{u-t_{k}}{h} y, \frac{\left(t_{k+1}-u\right)\left(u-t_{k}\right)}{h}\right)$

Je ne comprends pas comment montrer cette relation.
Merci d'avance pour vos réponse.

Barjovrille

Bonjour,
Soit $X,Y,Z$ trois v.a à valeur réelle, sous condition que tout est bien défini, tu connais la définition de :  $\mathcal{L}(X | Y=y, Z=z)$ ?

Positif

Indice : $ ( W(u), W(t_k), W_(t_{k+1}) ) $ est un vecteur gaussien.

Darksasukee

@Barjovrille justement, j'ai du mal à trouver une définition d'une loi conditionnelle dans le cas de v.a à densité. Même en cherchant dans des cours sur internet, je ne trouve pas mon bonheur...

@Positif oui j'ai commencé à chercher de cette manière mais comme j'ai du mal à définir une loi conditionnelle j'ai du mal à avancer.

Darksasukee

@Barjovrille
J'ai trouvé la définition d'une densité conditionnelle : $f_{Y \mid X=x}(y)=\dfrac{f_{(X, Y)}(x, y)}{f_{X}(x)}$.

Dans mon exemple, je connais la loi de $(W_{t_{k+1}},W_{t_{k}})$. Comme $(W_{t})$ est un processus gaussien alors $(W_{t_{k+1}},W_{t_{k}})$ doit être une loi normale d'espérance $(0,0)$ et de matrice de covariance $\begin{bmatrix} t_{k+1} & t_{k}  \\t_{k}  & t_{k}  \end{bmatrix}$ et  $(W_{t_{k+1}},W_{t_{k}},W_{u})$ a $(0,0,0)$ comme espérance et comme matrice de covariance $\begin{bmatrix} t_{k+1} & t_{k} & u \\t_{k}  & t_{k} & t_{k} \\u  & t_{k} & u\end{bmatrix}$

Si je pose $X=(W_{t_{k+1}},W_{t_{k}})$ et $Z=W_{u}$, alors j'ai $f_{Z \mid X=(x,y)}(z)=\dfrac{f_{(X, Z)}(z,x,y)}{f_{X}(x,y)}$. Il faut donc calculer le quotient et le numérateur à l'aide des lois de $(X,Z)$ et de $(X)$ que j'ai données avant.
Ai-je le bon raisonnement ?
Merci de votre aide.

Barjovrille

Bonjour, oui ta formule de densité conditionnelle est bonne dans le cas où $(X,Y)$ a une densité et $X$ aussi. Et ton raisonnement en posant le $X$ et le $Z$ en fonction des $W_t$ est bon.

Je ne connais pas vraiment la théorie des processus gaussiens, mais si tu as des propriétés qui te donnent directement la loi des couples / triplet $W_t$ utilise les.

Le truc que j'avais en tête c'était de partir de $W_{t_{k+1}}- W_{t_k}$ et $W_{t_k}$ sont indépendantes et on connait leur densités respectives. Avec des méthodes de fonctions muettes/ changement de variable on peut en déduire la loi du couple $(W_{t_{k+1}},W_{t_k})$. Et on fait la même chose avec les trois variables indépendantes $W_{t_k}$, $W_u-W_{t_k}$ et $W_{t_{k+1}}-W_u$ pour avoir la loi du triplet $(W_{t_{k+1}},W_{t_{k}},W_{u})$, (ça revient sûrement à démontrer les propriétés que tu viens d'énoncer sur les processus gaussiens).

Darksasukee

Merci de ton aide, je vais essayer d'écrire tout ça au propre.

Darksasukee

Je relance encore une fois, j'ai une nouvelle question s'il vous plait. Maintenant je sais que : $\mathcal{L}\left(W_{u} \mid W_{t_{k}}=x, W_{t_{k+1}}=y\right)=\mathcal{N}\left(\frac{t_{k+1}-u}{h} x+\frac{u-t_{k}}{h} y,\ \frac{\left(t_{k+1}-u\right)\left(u-t_{k}\right)}{h}\right),$
Je rappelle que  $\mathcal{B}_{h}$ the $\sigma$-field generated by the $\left(S_{t_{k}}, k=0, \ldots, N\right)$ with $S_{t}=S_{T_{0}} \exp \left(\sigma W_{t}-\frac{\sigma^{2}}{2} t+r t\right)$

comment je montre que : $\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} \mathbb{E}\left(S_{u} \mid \mathcal{B}_{h}\right) d u=\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} e^{\big(r-\tfrac{\sigma^{2}}{2}\big) u} e^{\sigma \tfrac{t_{k+1}-u}{h} W_{t_{k}}+\sigma \tfrac{u-t_{k}}{h} W_{t_{k+1}}+\tfrac{\sigma^{2}}{2} \tfrac{\left(t_{k+1}-u\right)\left(u-t_{k}\right)}{h}} d u$.

Le terme $\sigma \frac{t_{k+1}-u}{h} W_{t_{k}}+\sigma \frac{u-t_{k}}{h} W_{t_{k+1}}$ vient de l'espérance de la loi : $\mathcal{L}\left(W_{u} \mid W_{t_{k}}=x, W_{t_{k+1}}=y\right)$. Je ne comprends pas par contre pourquoi le terme $\frac{\sigma^{2}}{2} \frac{\left(t_{k+1}-u\right)\left(u-t_{k}\right)}{h}$ qui est la variance de cette même loi se trouve ici.

Merci d'avance.