Une "décomposition" des nombres premiers

jelobreuil
Modifié (2 Jan) dans Arithmétique
Bonjour et bonne année à tous !
Ayant remarqué les égalités suivantes :
$29 = 14 + 15 = 2\times7 + 3\times5$ ;
$31 = 10 + 21 = 2\times5 + 3\times7$ ;
$37 = 22 + 15 = 2\times11 + 3\times5$ ;
$41 = ~~6 + 35 = 2\times3 + 5\times7$ ;
$43 = 10 + 33 = 2\times5 + 3\times11$ ;
$47 = 14 + 33 = 2\times7 + 3\times11$ ;
$53 = 14 + 39 = 2\times7 + 3\times13$ ;
je me pose plusieurs questions.
Est-ce que tous les nombres premiers peuvent être "décomposés" de cette manière, à savoir comme somme d'un nombre pair, double d'un nombre premier $P1$, et d'un nombre impair, produit de deux nombres premiers $P2$ et $P3$, soit $P = 2.P1 + P2.P3$ ?
Pour quels nombres premiers cette décomposition est-elle unique ? Je suppose que cela n'est vrai que pour les nombres premiers inférieurs à un certain premier P-lim, car j'ai déjà constaté que, par exemple, 223 peut être "décomposé" d'au moins deux manières :
$223 = 14 + 209 = 2\times7 + 11\times19 = 22 + 201 = 2\times11 + 3\times67$
D'autre part, quel serait l'intérêt d'une telle "décomposition" ? Anecdotique, je présume ? Sans doute a-t-elle déjà été envisagée ou étudiée ?
Bien cordialement, JLB

Réponses

  • nicolas.patrois
    Modifié (2 Jan)
    J’ai mis du temps à comprendre que 14=2×7.
    Cette décomposition a l’air unique uniquement pour 13 et 23.
    #!/usr/bin/python3
    
    nb=10**6
    
    crible=[True]*(nb+1)
    crible[0:2]=False,False
    m=2
    while m<=(nb+1)**.5:
        crible[2*m::m]=[False for _ in range(2*m,nb+1,m)]
        m+=1
        while not crible[m]:
            m+=1
    
    premiers=[i for i in range(nb+1) if crible[i]]
    décomposition={p:[] for p in premiers}
    
    for p in premiers[1:]:
      for q in premiers:
        r=p-2*q
        if r<=0:
          break
        for s in premiers:
          u,v=divmod(r,s)
          if s>u:
            break
          if v==0 and u in premiers:
            décomposition[p].append("2×%d+%i×%i"%(q,u,s))
      if len(décomposition[p])==1:
        print(p,décomposition[p])

    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • jelobreuil
    Modifié (2 Jan)
    Bonjour, @nicolas.patrois, et bonne année !
    Non ?? Vraiment ?? Moins de quatre minutes, quand même !
    Pour noter les nombres décimaux, je n'ai pas l'habitude d'utiliser des points au lieu de virgules, et je n'aime pas employer le "x" pour noter une multiplication ...
    Bien cordialement, JLB
  • NicoLeProf
    Modifié (2 Jan)
    Bonjour,
    en voilà de belles questions jelobreuil ! :)
    "Est-ce que tous les nombres premiers peuvent être "décomposés" de cette manière" ---> Non, contre-exemple avec $17$ :
    On voudrait : $17 = 2 \times P_1+P_2 \times P_3$ avec $P_1$ premier donc $P_1 \in \{2;3;5;7\}$.
    On teste les $4$ cas possibles : 
    Si $P_1=2$, alors $17=2 \times 2 + 13$ : pas possible. 
    Si $P_1=3$, alors $17 =2 \times 3 + 11$ : pas possible. 
    Si $P_1=5$, alors $17=2 \times 5+7$ : pas possible. 
    Si $P_1=7$, alors $17=2 \times 7+3$ : pas possible.  
    C'est drôle car beaucoup d'autres nombres premiers s'écrivent de cette manière. Pour $17$, on remarque que cela ne fonctionne pas car le produit $P_2 P_3$ est déjà premier et $1$ n'est pas premier.
    Remarque : en fait, cela ne marche pas pour $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ et $17$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • jelobreuil
    Modifié (2 Jan)
    Bonjour @NicoLeProf et bonne année,
    Oui, tu as raison, j'aurais dû préciser : "tous les nombres premiers, excepté les neuf (9) premiers", soit de $2$ à $23$" : $29$ est le plus petit premier que l'on puisse "construire" ou "décomposer" ainsi, puisqu'il est "construit" avec $2$ et les trois plus petits premiers impairs, pris dans un certain ordre ...
    Par contre, à partir de $29$, je pense que c'est vrai, mais je serais bien incapable de le prouver ...
    @nicolas.patrois, j'aurais dû aussi préciser que je m'impose la condition que $P1$, $P2$ et $P3$ existent tous et soient tous différents les uns des autres : pour moi, les décompositions que j'indique pour les nombres premiers de $29$ à $53$ me semblent uniques, à première vue ...
    Bien cordialement, JLB
  • nicolas.patrois
    Modifié (2 Jan)
    Là, j’ai 19, 29 et 31.

    #!/usr/bin/python3
    
    nb=10**6
    
    crible=[True]*(nb+1)
    crible[0:2]=False,False
    m=2
    while m<=(nb+1)**.5:
        crible[2*m::m]=[False for _ in range(2*m,nb+1,m)]
        m+=1
        while not crible[m]:
            m+=1
    
    premiers=[i for i in range(nb+1) if crible[i]]
    décomposition={p:[] for p in premiers}
    
    for p in premiers[1:]:
      for q in premiers:
        r=p-2*q
        if r<=0:
          break
        for s in premiers:
          u,v=divmod(r,s)
          if s>u:
            break
          if v==0 and u in premiers and len({q,u,s})==3:
            décomposition[p].append("2×%d+%i×%i"%(q,u,s))
      if len(décomposition[p])==1:
        print(p,décomposition[p])

    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • bisam
    Modifié (2 Jan)
    De nos jours, il me semble qu'il est préférable de remplacer la ligne "2×%d+%i×%i"%(q,u,s) par la nouvelle syntaxe f"2x{q}+{u}x{s}"
  • Oui, je sais mais j’ai eu la flemme.
    D’ailleurs, il y a sûrement moyen d’améliorer cet algorithme bourrin.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • LEG
    LEG
    Modifié (3 Jan)
    Bonjour
    $61$ a déjà trois décompositions possibles...
    Il se pourrait bien qu'il y ait plusieurs décompositions possibles et que cela soit étrangement du même principe que la  conjecture de Goldbach...
    Que certain nombres premiers aient de plus en plus de décompositions, $(2P_1 + (I = P_2*P_3))$
    Avec $(2P_1 + I)$ ou $(P_2*P_3)$ inférieur à la moitié du nombre premier en question comme $67, 71, 73 ...etc$...
    Mais quant à la démonstration, aussi difficile voir plus...
  • lourrran
    Modifié (3 Jan)
    Le 1000 ème nombre premier est de l'ordre de 8000. 
    En combinant 3 nombres premiers choisis parmi ces 1000, on peut former quasiment 500Millions de combinaisons (je compte [a,b,c] ou [a,c,b] comme une seule combinaison)
    Dans leur grande majorité, tous les résultats de ces combinaisons sont des nombres inférieurs à 50Millions, donc 25Millions de nombre impairs dans cet ensemble d'arrivée.
    Chaque impair a donc 'en moyenne' 20 décompositions, et les nombres premiers ont a priori un peu plus de décompositions que les autres (quand on combine a,b,c, le résultat obtenu n'est multiple ni de a ni de b ni de c).
    20 décompositions en moyenne pour ces nombres jusqu'à 50Millions, en se limitant aux décompositions avec uniquement des nombres premiers choisis parmi les 1000 premiers, donc beaucoup plus en prenant en compte tous les nombres premiers. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Merci, @LEG et @lourrran de vos commentaires éclairés et éclairants !
    Bien cordialement, JLB
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