Méthode de krigeage

LeVioloniste

Bonjour
Je souhaite traiter cet exercice utilisé en statistiques spatiales.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Krigeage

LeVioloniste

Q1a

Cette question est étrange.

Soit $h \in \mathbb{R}^2$, $\exists a \in \mathbb{R}^2$  $\exists \alpha \in \mathbb{R}$ tq $h=\alpha.a$. Si$||h|| > ||a||$ alors $(Z(x),Z(x+h))$ est libre.

La négation de 'Si$||h|| > ||a||$ alors $(Z(x),Z(x+h))$ est libre.' est 'Si $||h|| <  ||a||$ alors $(Z(x),Z(x+h))$ est liée.'

Ce qui s'écrit $\forall x,h \in \mathbb{R}^2$, $\exists \lambda \in \mathbb{R}$,  $Z(x+h)=\lambda.Z(x)$ si $||h|| <  ||a||$.

LeVioloniste

Q1b

$\forall x,h \in \mathbb{R}^2$, $|C(h)|=|cov(Z(x);Z(x+h))|$.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $|C(h)| \leq \sqrt{\mathbb{V}(Z(x)).\mathbb{V}(Z(x+h))}$

Or $\mathbb{V}(Z(x))$ est indépendante de $x$ donne que $\mathbb{V}(Z(x+h))=\mathbb{V}(Z(x))$

Donc $|C(h)| \leq \mathbb{V}(Z(x)) = C(0)$

On peut préciser $ C(0)=\sigma^2$

LeVioloniste

Q1c

Par définition du semivariogramme, $\forall x,h \in \mathbb{R}^2$, $2\gamma(h)=\mathbb{V}[Z(x)-Z(x+h)]=\mathbb{V}[Z(x)]+\mathbb{V}[Z(x+h)]-2cov(Z(x),Z(x+h))$

Or $\mathbb{V}[Z(x)]=\mathbb{V}[Z(x+h)]$ et $cov(Z(x),Z(x+h))=C(h)$

Alors $2\gamma(h)=2\mathbb{V}[Z(x)]-2C(h)$ et d'après la question précédente $\mathbb{V}[Z(x)]=C(0)=\sigma^2$

Donc $\gamma(h)=C(0)-C(h)$

LeVioloniste

Q1d

Si $Z$ est une FA2, alors $\gamma(h)=C(0)-C(h)$ ne dépend que de $h$ d'après Q1c

Si $Z$ est une FAI, avec la formule de Huyguens,

$\mathbb{V}[Z(x)-Z(x+h)]=\mathbb{E}[(Z(x)-Z(x+h))^2] - (\mathbb{E}[Z(x)-Z(x+h)])^2$

Or $\mathbb{E}[(Z(x)-Z(x+h))^2]$ ne dépend que du vecteur $h$

et $\mathbb{E}[Z(x)-Z(x+h)]=0$. Donc $\mathbb{V}[Z(x)-Z(x+h)]=\mathbb{E}[(Z(x)-Z(x+h))^2]$ ne dépend que de $h$.

LeVioloniste

Q1e

Si $Z$ est une FA2

1er axiome de FAI

Si $\forall x \in \mathbb{R}^2$, $\mathbb{E}[Z(x)]=\mu$ alors $\mathbb{E}[Z(x+h)]=\mu$ $\forall h \in \mathbb{R}^2$.

alors $\mathbb{E}[Z(x)]-\mathbb{E}[Z(x+h)]=\mathbb{E}[Z(x)-Z(x+h)]=0$

2eme axiome de FAI

$\mathbb{E}[(Z(x)-Z(x+h))^2=\mathbb{V}[Z(x)-Z(x+h)]=\mathbb{V}[Z(x)]+\mathbb{V}[Z(x+h)]-2cov(Z(x),Z(x+h))$ qui ne dépend pas de $h$, vu en Q1c.

Donc les 2 axiomes de FAI sont vérifiés.

LeVioloniste

Q1f-i
On a $Z(x) \sim \mathcal{N}(0,cov(....))$ avec $cov(Z(x),Z(x+h))=(|x|^b+|x+h|^b-|h|^b).\sigma^2$ et $0<b<2$.
Il faut que $cov(Z(x),Z(x+h))$ ne dépende que de $h$ ce qui est faux si $h=0$, $cov(Z(x),Z(x+h))=2|x|^b$ qui dépend de $x$.

Q1f-ii
Si $Z(x)$ suit une loi gaussienne alors $Z(x+h)-Z(x)$ suit une loi gaussienne.
$\mathbb{V}[Z(x+h)-Z(x)]=\mathbb{V}[Z(x)]+\mathbb{V}[Z(x+h)]-2cov(Z(x),Z(x+h))$, avec
$\mathbb{V}[Z(x)]=cov(Z(x),Z(x))=(|x|^b+|x|^b-|0|^b).\sigma^2=2|x|^b.\sigma^2$
$\mathbb{V}[Z(x+h)]=2|x+h|^b.\sigma^2$
Alors $\mathbb{V}[Z(x+h)-Z(x)]=2|x|^b.\sigma^2+2|x+h|^b.\sigma^2-2(|x|^b+|x+h|^b-|h|^b).\sigma^2=2|h|^b.\sigma^2$

Q1f-iii
$\mathbb{V}[Z(x+h)-Z(x)]$ est indépendant de $x$ et donc ne dépend que de $h$.
Le semivariogramme est bien défini ; que dire d'autre ?
$Z$ est-elle une FAI ? $Z$ n'est pas une FA2, car on n'a pas de covariogramme.

LeVioloniste

Q1g
C'est le semi variogramme car $\gamma$ se calcule en fonction de $h$.
Le covariogramme a une formule plus complexe.

LeVioloniste

@Alexique tu as regardé cet exo ?

Alexique

Non, un topic à la fois. Tu ouvres des topics sans que d'autres soient clos.