ENAC (concours sup, mathématiques, sujet 2005) - exercices 1 à 30

jacegan18

Bonjour (et bananée) tout le monde,
J'ai recommencé à travailler les sujets de l'ENAC. Au lieu de bachoter, j'ai changé de stratégie : je vais travailler les questions du concours jusqu'à obtenir des résultats.
Mais j'ai besoin d'aide.
Voici les 3 premières questions (liées autour d'un sujet) du sujet 2005 - ENAC.

J'ai vraiment besoin d'aide (j'ai passé 20 minutes sur chaque question, et je n'en ai réussi aucune réponse).
Je sais que c'est lié à une suite convergente vers le point fixe $l_a$.
Merci, choukrane, spasiba, arigato gozaimasu.

JLT

Franchement je trouve que ce format de concours est pénible, ce type d'exercices n'est pas motivant. Peux-tu au moins montrer les faits suivants ?
Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\to I$ de classe $C^1$. On considère une suite récurrente telle que $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. On suppose que $(u_n)$ converge vers une limite $\ell\in I$. Montrer que
1) $\ell = f(\ell)$
2) $u_{n+1}-u_n\sim f'(\ell) (u_n-u_{n-1})$
3) $u_{n+1}-\ell\sim f'(\ell) (u_n-\ell)$

Une fois que ce sera fait, regarde si ça t'aide pour déterminer si certaines assertions de la question 2 sont vraies ou fausses.

jacegan18

Merci beaucoup, @JLT !