Trois céviennes non concourantes

gipsyc
Modifié (January 2024) dans Géométrie
Bonjour
Une propriété associée à trois céviennes non concourantes (non représentées sur le schéma) qui m'a semblé intéressante à partager.

Le premier terme : l'(in)égalité de Ceva.
Les derniers termes : des rapports anharmoniques identiques associés aux trois transversales sur chacun des côtés du triangle.
(mesures algébriques non orientées)
Et pourquoi pas : 

Une bonne année 2024 à toutes et tous,
Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • Merci, Jean-Pol, bonne année à toi aussi !
  • Chaurien
    Modifié (January 2024)
    Des céviennes non concourantes, mon Dieu ! On aura tout vu !  ;)
    NB. Mon correcteur d’orthographe refuse « céviennes » et suggère « sévriennes» ...
  • gipsyc
    Modifié (January 2024)
    Bonjour Chaurien
    Pourquoi pas des céviennes « non concourantes » ?

    Si certaines céviennes sont concourantes ... d'autres peuvent ne pas l'être.

    Mais sans doute le commentaire portait-il sur l'ensemble du concept, probablement trop basique.

    L'association de la formule de Ceva à trois céviennes quelconques et à un rapport anharmonique m'a semblé digne d'intérêt.
     
    Cordialement,
    Jean-Pol 
  • Swingmustard
    Modifié (January 2024)
    En tout cas, Bonne Mannélaüs à tous !
    Allusion lourdingue au théorème qui permet à gypsic de joliment lier les trois rapports de Ceva au birapport.
    Pourquoi te priver de la mesure algébrique, ça marche aussi avec, non ?
    Amicalement,
    Swingmustard
  • gipsyc
    Modifié (January 2024)
    Bonjour Swingmustard,

    Merci pour les bons vœux.

    Pour des mesures orientées, cela fonctionne certainement, mais cela complique l'écriture dans la configuration proposée.

    Pour la première égalité, on peut s'en tirer en effet par exemple (avec Ichung Chen) avec
    • Ceva dans le △ABC, en posant AX ∩ BC = G
    [AG étant la 3e cévienne concourante faisant défaut]
    (AF/FB)‧(BG/GC)‧(CE/EA) = 1
        × (BD/DC)/(BG/GC) ⇒
    (AF/FB)‧(BD/DC)‧(CE/EA)
    = (BD/DC)/(BG/GC)
    = (BD/BG)/(DC/DG)
    = (B,C;D,G)                                     (1)
    • Menelaus dans le △XYZ avec une configuration moins typique (la transversale AEC passant en dehors du △XYZ)

    ⇒ 

    (YA/AZ)‧(ZE/EX)‧(XC/CY) = 1
       × (BZ/ZE)/(BX/XE) ⇒
    (YA/AZ)‧(BZ/BX)‧(XC/CY)
    = (BZ/ZE)/(BX/XE)
    = (BZ/BX)/(EZ/EX)
    = (B,E;Z,X)                                     (2)

    • En mettant harmoniquement si pas harmonieusement tout ensemble
    A(B,C;D,G) = A(B,E;Z,X)               (3)
    (1)(2)(3) ⇒
    (AF/FB)‧(BD/DC)‧(CE/EA)
    = (YA/AZ)‧(BZ/BX)‧(XC/CY).

    • Pour le birapport

    Menelaus dans le △ABC et la transversale FEM

    CE/EA AF/FB BM/CM = 1

       × (BD/DC) (CM/BM)

    ⇒ 

    AF/FB BD/DC CE/EA = BD/DC CM/BM

       = (BD/BM)/(CD/CM)

    et de même cycliquement pour les deux autres birapports.

    Cordialement,

    Jean-Pol 

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