Questions diverses sur la théorie des ensembles

Neknek

Bonjour à tous,
mes derniers posts et mes quelques recherches m'ont conduit à m'intéresser à la théorie des ensembles.
La théorie est naturelle, jolie et intuitive mais quand on cherche à la formaliser ça vire au casse-tête. J'ai passé des heures à essayer de comprendre tout ça : les paradoxes, les axiomes, les schémas d'axiomes, logique du premier ordre etc...
Pas simple de faire son chemin là-dedans pour un néophyte comme moi.
(Il est donc fort probable que je dise de grosses bêtises ou que je fasse du hors-sujet ou du non-sens.)

Bon j'ai mis un titre assez large pour pouvoir poser les différentes questions au fur et à mesure qu'elles arriveront.
Voici les premières.

1) Comment démontre-t-on que l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble A ?
    Évidemment de manière naturelle je vois bien pourquoi (en gros comme il est vide, il n'y a pas d'éléments qui ne soit pas dans A) , mais si je prends la définition formelle : ∅={x∈O;x≠x} ou O est l'ensemble qui résulte de l'axiome d'existence, et si je prends pour définition de l'égalité : x = y signifie ∀z (z ∈ x ⇔ z ∈ y).
Je pense que la démonstration va reposer sur Faux => Tout, si oui cela est-il accepté en logique intuitionniste ? (je ne sais même pas si cette question a un sens).

2) Suite aux différents paradoxes la théorie de Cantor a été rectifiée, mais est-on sûr qu'il n'y aura pas d'autres paradoxes ? (Si c'est le cas, je n'ose même pas demander comment on démontre cela).

3) N'y a-t-il pas plus direct pour définir un singleton que d'utiliser l'axiome de la paire {A,B} avec A=B ?

4) L'ensemble qui résulte de l'axiome d'existence est-il vide ? Si oui alors tous les ensembles sont construits à partir de l'ensemble vide (un peu comme la construction ensembliste des entiers) ?

5) Si je n'ai pas d'axiome de fondation peut-on avoir un x tq x∈x ?

 Merci.

AlainLyon

Il n'y a pas une théorie des ensembles il y a des théories des ensembles car les axiomes varient suivant les auteurs.

https://www.wikiwand.com/en/Set_theory

donc avant tout raisonnement sur l'ensemble vide il faut savoir de laquelle tu écris et la question est celle de leurs consistances indécidable dans leurs systèmes axiomatiques (c'est le deuxième de Gödel).

Tout ce que peut la logique déterministe c'est prouver par un théorème de la théorie qu'une théorie est inconsistante et faire de la  science c'est rejeter la théorie dont il existe une preuve d'inconsistance tout en conservant les autres!

[Je supprime cette désinformation flagrante. Poirot]

gerard0

Bonjour Neknek.

"En l'occurence la théorie ZFC est inconsistante" est une opinion personnelle de AlainLyon, qu'il a essayé d'étayer sur ce forum par un texte lui-même inconsistant.

Mais sa remarque qu'il existe plusieurs théories des ensembles est utile. Les logiciens répondront plus facilement à ta question 1 si tu donnes le contexte, quelle théorie tu utilises.

Pour la question 2, on n'a aucun moyen de savoir si une théorie sur laquelle baser les mathématiques évitera les paradoxes, c'est une conséquence des découvertes de Gödel.
Cordialement.

AlainLyon

La rhétorique de gerard0 consiste à ne pas citer ma preuve publiée. Pour le reste je suis d'accord avec lui qu'il faut commencer par spécifier la théorie des ensembles au sujet de laquelle tu écris.

Médiat_Suprème

On parle de ZF(C)
1) Intuitivement (et cela se formalise facilement, Soit $x$ un ensemble, il n'y a aucun élément du vide qui ne soit pas dans $x$
2) Non, on ne sait pas s'il y a d'autres contradictions (un paradoxe n'est pas gênant) puisqu'on ne sait pas si ZF(C) est consistante ou non
3) Cette preuve est assez directe, non ?
4) l'axiome d'existence dit qu'il existe un ensemble, mais on ne sait rien de lui, c'est à partir de cet axiome et un autre (je vous laisse chercher lequel) qu'on prouve l'existence de l'ensemble vide
5) oui. visualisez un "modèle" de ZF(C) comme un graphe, alors une boucle veut dire $x\in x$. Sinon l'axiome de fondation serait inutile et l'axiome d'anti-fondation contradictoire avec les autres.

Martial

Bonjour @Neknek

0) Ne cherche surtout pas à comprendre les délires d'@AlainLyon ou alors munis-toi auparavant d'une quantité suffisante de paracétamol.

1) Il s'agit de prouver que $\forall x (x \in \emptyset \rightarrow x \in A)$. Or, l'hypothèse $x \in \emptyset$ est toujours fausse, donc l'implication est toujours vraie. Je laisse à d'autres intervenants, plus experts que moi dans le domaine, la responsabilité de décider si ce raisonnement est valable en intuitionnisme.

2) C'est ce qu'a dit @gerard0

3) Dans la théorie initiale de Zermelo, l'existence du singleton $\{x\}$ pour tout ensemble $x$ figurait en toutes lettres dans les axiomes. Maintenant on préfère la version économique, où l'axiome de la paire suffit. Mais en fait c'est un détail.

4) Aucune importance. S'il est vide il n'y a rien à faire, sinon on reproduit ton raisonnement ci-dessus. A noter que certains auteurs préfèrent utiliser l'axiome de l'ensemble vide : $\exists x \forall y (y \notin x)$. Le seul avantage de cette méthode est que ça te permet d'énoncer l'axiome de l'ensemble vide avant le schéma de compréhension. Là encore, c'est un détail.

5) Oui. Tu peux même avoir des auto-singletons, ou ensembles réflexifs, i.e. des ensembles $x$ tels que $x=\{x\}$. Voir par exemple Peter Aczel : "Non Well-Founded Sets". C'est aussi assez bien expliqué dans le livre de Krivine. (Chapitre 4 de mémoire).

nicolas.patrois

Si tu veux un pavé de 2674 pages, tu peux consulter le livre de Martial.

Neknek

Merci pour les différentes réponses.

1) En tant que néophyte, pour la théorie je vais commencer par "le début" en me plaçant dans Z (je verrai au fur et à mesure de ma progression les autres).

2) @Médiat Suprème pourquoi un paradoxe n'est-il pas gênant puisqu'ils ont posé problème pour la théorie de Cantor ?

3) et 4) ok je m'en accommode, on peut supprimer ces deux points.

5) Comme la réponse est oui, dans la construction des entiers comment peut-on alors affirmer que xU{x} est différent de x, est-ce dû au fait que l'on parte de l'ensemble vide comme ensemble de départ ce qui "palie" à l'absence d'axiome de fondation dans Z ?

Poirot

Pour approfondir légèrement les réponses concernant 2) : Gödel a démontré (c'est son second théorème d'incomplétude) que si $\mathsf{ZF}$ est consistante, elle ne peut démontrer sa propre consistance. Comme on travaille "par défaut" dans $\mathsf{ZF}$, on est coincé, on doit donc faire acte de foi en croyant en sa consistance, et il n'y a pas d'autre alternative, à part celle de tomber sur une contradiction (on espère que ça ne se produira pas bien sûr). Je rejoins les autres qui disent qu'il faut éviter de lire les inepties écrites par AlainLyon concernant ce sujet.

@AlainLyon Si ta preuve était réellement publiée, on la citerait sans aucun soucis. Un preprint faux (on t'a déjà pointé de multiples erreurs que tu n'as pas su corriger dans ton fil) sur vixra a autant de valeur scientifique que des tweet sur la Terre plate.

AlainLyon

Si on se contente de ZF sans axiome de fondation alors on autorise l'existence de suites d'inclusions $a_{n+1}\subset a_n$ et les suites cycliques d'inclusions. 

D'autre par sans une version de l'axiome du choix (il y a en plusieurs) on aura du mal à bien définir un quotient d'ensemble par une relation comme un ensemble.

Il se peut que cela fonctionne mais le résultat sera très éloigné de ce qu'écrivent la majeure partie des bibliothèques universitaires.

Appelons un chat un chat @Poirot appelle à une refondation des mathématiques.

Médiat_Suprème

En fait le mot paradoxe est utilisé dans plusieurs sens  
1) Quelque chose qui choque le sens commun, comme l'indique l'étymologie (paradoxe de Banach-Tarski qui est un théorème de ZFC, paradoxe de Russell qui va à l'encontre de ce que l'on peut penser pour une théorie des ensembles, paradoxe de Cantor etc.).
2) Quelque chose qui est contradictoire (avec le reste)

Le point 2) est défini clairement par les mots "incohérent" ou "inconsistant", je préfère donc n'utiliser le mot paradoxe que dans le cas 1)

Neknek

J'utilisais le mot paradoxe dans le sens : contradictoire avec le reste.
Pour clôturer ma question 2, a-t-on démontré que ZF est consistante en se plaçant dans autre chose que ZF ? (sous réserve que cette question ait un sens).

Foys

Pour clôturer ma question 2, peut-on démontrer que ZF est consistante en se plaçant dans autre chose que ZF ? (sous réserve que cette question ait un sens).

Oui,  une telle preuve existe par dans une théorie qui rajoute des axiomes à ZF. Par exemple T:= ZFC+ "il existe un cardinal inaccessible" démontre la consistance de ZF. Le truc est qu'une telle théorie prête elle-même le flanc au deuxième théorème de Gödel (si T démontre la consistance de T alors T est contradictoire).

Parler d'acte de foi est exagéré (le résultat dit plutôt qu'il n'existe aucun moyen réaliste de "protéger" l'activité mathématique de la découverte ultérireure de possibles contradictions et d'ailleurs, pour cette raison, il n'existe aucun argument pour disqualifer a priori les tentatives de certains pour prouver l'inconsistance de théories courantes des mathématiques; voyez par exemple le cas d'Edward Nelson, ou encore les découvertes de vrais contradictions dans d'anciennes versions de prouveurs formels COQ). Le deuxième théorème de Gödel est un résultat technique constructif qui dit: "si T est une théorie récursive qui démontre les axiomes de Peano (après les avoir reformulés dans le système formel en question) et si T démontre (un certain énoncé formel qui exprime) la consistance de T alors T est contradictoire (i.e. démontre 0=1, puis toutes les formules)." 

En fait le résultat de Gödel rajoute des lignes supplémentaires (arithmétisation de la syntaxe puis un argument connu depuis sous le nom de "théorème de Lob") à une preuve quelconque de "T est consistante" (formulée dans T) et aboutit à "0=1".

Si on découvrait une telle preuve, cela ne remettrait pas en cause le statut de théorèmes (de T) des résultats déjà démontrés (mais retirerait à ladite théorie sa pertinence et son utilité).

Martial

@nicolas.patrois : merci pour cette publicité gratuite et pour ce lien.

@Neknek : pour prouver que $x \cup \{x\} \supsetneqq x$ tu n'as nul besoin de l'axiome de fondation. Un entier naturel est en particulier un ordinal, et il est facile de démontrer que pour tout ordinal $\alpha$, on a $\alpha \notin \alpha$ : voir par exemple mon chapitre 5 dans le lien fourni par Nicolas.

Donc si $x$ est entier tu as $x \notin x$, et par conséquent tu rajoutes quelque chose quand tu passes de $x$ à $x \cup \{x\}$.

Pour répondre à ta dernière question : oui. La théorie ZF + "il existe un cardinal fortement inaccessible" prouve la consistance de ZF. (Voir chapitre 16). Mais bien sûr elle ne démontre pas sa propre consistance, donc on est toujours coincés.

Enfin, pour info, @AlainLyon a dit quelque part sur ce forum que ZFC est inconsistante, et que la "bonne" théorie des ensembles est NBG (Gödel-Bernays-von Neumann). Or, "tout le monde sait bien" que la consistance de ZFC entraîne celle de NBG. Alors comme disait San-Antonio, c'est quand même un peu fort de caoua !

Poirot

Plus directement, $\mathsf{ZFC}$ prouve la consistance de $\mathsf{ZF}$, mais on n'est guère plus avancé !

Foys

Plus directement, 𝖹𝖥𝖢 prouve la consistance de 𝖹𝖥, mais on n'est guère plus avancé !

Ca ne peut pas être possible (ou alors on sait déjà que ZF est inconsistante) puisque ZF et ZFC sont équiconsistantes (l'argument qui montre que par exemple la collection L des constructibles satisfait ZFC se formalise facilement dans ZFC vu comme cadre métathéorique).
Par contre ZFC/ZF prouve la consistance de Z.

Poirot

Tu as raison, je n'avais pas réfléchi

Foys

À toutes fins pratiques ZF et ZFC sont les "mêmes théories" au sens suivant (donc ces débats pour savoir si AC est "vrai" ou "douteux" ou autre ont en fait -à mon pas du tout humble avis donc ça n'engage que moi tout comme le reste non technique de ce message- un intérêt limité):

Soit $V_{\omega}$ l'ensemble des "ensembles héréditairement finis" (si vous ne savez pas ce que c'est la réunion des ensembles définis par $V_0:=\emptyset$ et $V_{n+1}:= \mathcal P(V_n)$). $V_{\omega}$ contient tous les objets essentiellement finitistes (encodables par des arbres finis). $V_{\omega}$ -même s'il ne contient pas $\N$- contient tous les entiers ($0:\emptyset$, $1 := \{\emptyset\}$, ..., $n$, $n+1:= n \cup \{n\}$ etc, un ordinal est dans $V_{\omega}$ si et seulement si c'est un entier).

Un "énoncé d'arithmétique" (terminologie empruntée à Krivine) est un énoncé de théorie des ensembles dont tous les quantificateurs sont bornés par $V_{\omega}$ (i.e. écrit avec $\alpha = \beta$ ou $ \alpha \in \beta$ où $\alpha,\beta$ sont des lettres ou bien $V_{\omega}$, des connecteurs logiques comme $\vee,\wedge, \Rightarrow, \neg, \Leftrightarrow$, et des quantificateurs apparaissant uniquement dans des formes suivantes: $\forall x, x \in V_{\omega} \Rightarrow F$ et $\exists x, x \in V_{\omega} \wedge F$ où $F$ est une formule déjà construite selon ces mêmes règles).

"$2+2 = 4$", "$x$ est un nombre entier", "F est une formule sans variables libres" (après encodage convenable), énoncés qui relèvent de ce qui se passe dans un ordinateur (qui sont des automates finis en pratique) etc sont des exemples de tels énoncés.

Dans le livre "Théorie des ensembles" de J.-L. Krivine, page 99, on trouve le théorème suivant: pour tout énoncé d'arithmétique A, s'il existe une démonstration de A dans ZF + V=L, alors il existe une démonstration de A dans ZF seul. Comme l'axiome de constructibilité V=L est employé, ça veut dire qu'on a le droit à AC, même à l'axiome du choix global, à l'hypothèse généralisée du continu, ça ne change rien pour de tels énoncés.

L'existence d'objets vraiment infinis dans le monde réel n'est franchement pas claire et $\R$, $\mathcal P(\N)$ sont plutôt des notions métaphysiques.

De toute façon, à nouveau, on traite de théories qui sont équiconsistantes.

Neknek

(le nom de Jean Louis Krivine me fait tout drôle car je l'ai eu comme professeur par deux fois mais pas en théorie des ensembles).
Si j'en reviens à mes moutons, il reste toujours la question 1).     (pour la 5) j'attendrai visiblement d'arriver aux ordinaux)

Médiat_Suprème

il me semble que la réponse pour la 1) a été donnée, je la répète : 
$\forall y \forall x (x \in \emptyset \Rightarrow x\in y)$

Foys

@Neknek

question 5) oui (voir le même bouquin; à chaque fois il s'agit de constructions assez longues donc je pointe une référence)

question 1) 

(i) En logique classique:

"$\forall x F$" signifie la même chose (et peut en être vu comme une abréviation) que $\neg \exists x (\neg F)$ et "$A \Rightarrow B$" signifie la même chose que $\neg (A \wedge \neg B )$ ("il n'y a pas  $A$ sans $B$").

$A \subseteq B$ abrège $\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B$ c'est-à-dire $\neg (\exists x, x \in A \wedge \neg x \in B )$.

"$\emptyset$ est vide" veut dire qu'il n'existe aucun $x$ tel que $x \in \emptyset$, autrement dit: $\neg (\exists x, x \in \emptyset)$.

Tout le reste consiste en des évidences grammaticales, en effet, soit $x$ quelconque.

 Comme on a pas $x\in \emptyset$,  à plus forte raison on n'a pas non plus $x \in \emptyset$ et $\neg (x \in A)$.

En bref il n'y a aucun $x$ tel que $x \in \emptyset$ et $\neg x \in A$, autrement dit tout en formules $\neg (x \in \emptyset \wedge \neg x \in A)$ i.e. $\emptyset \subseteq A$.

(ii) En logique intuitionniste:

Il n' y a pas vraiment de "négation" en logique intuitionniste. Il y a une phrase  désignée par le symbole $\perp$ et qui signifie intuitivement " tout est vrai" (ce n'est rien d'autre que le contenu du schéma d'axiomes suivant de la logique intuitionniste: $\perp \Rightarrow F$ où $F$ désigne n'importe quelle formule). "$\neg P$" est alors une abréviation de $P \Rightarrow \perp$. Enfin $\emptyset$ est défini par $\{x \mid \perp\}$ (un ensemble qui est tel que s'il y a quelque chose dedans alors tout est vrai. L'existence d'un tel ensemble est garantie par le schéma de compréhension -borné- de la théorie des ensembles et par l'existence d'au moins un ensemble).
Une fois ceci posé, à nouveau, l'inclusion voulue est une lapalissade. Soit $A$ un autre ensemble et $x$ dans vide. Alors tout est vrai ($\perp$). Donc à plus forte raison, $x\in A$ est vrai. Donc bref on a montré que pour tout $x$, si $x\in \emptyset$ alors $x \in A$.

Neknek

si j'ai bien compris : comme x∈∅ est toujours faux l'implication est vraie. (je voulais un peu éviter cela, mais j'essaierai de mieux reformuler ma question plus tard)

6) Une suite infinie n'existe-t-elle qu'avec l'axiome du choix ? Si oui et comme je vois les réels comme des classes d'équivalences de suites de Cauchy d'éléments de Q, les réels existent-ils sans axiome du choix ? et si oui sont-ce exactement les même réels (c'est-à-dire avec exactement les mêmes propriétés ni plus ni moins) ? (ça fait beaucoup de questions )

Foys

si j'ai bien compris : comme x∈∅ est toujours faux l'implication est vraie. (je voulais un peu éviter cela, mais j'essaierai de mieux reformuler ma question plus tard)

je sais bien que cette incantation "faux implique blabla" est impopulaire. Relis bien mon message en faisant attention aux détails: en logique classique "implique" est une abréviation d'autre chose et en logique intuitionniste il n'y a pas de faux (quant à "<<tout est vrai>> implique n'importe quoi", il s'agit juste une évidence gratuite: la logique intuitionniste d'ordre supérieure peut d'ailleurs définir tous les connecteurs à l'aide des seuls $\forall$, $\Rightarrow$ et par exemple, $\perp$ est défini par $\forall p:Prop, p$ où "$Prop$" est le type des phrases. Tout le reste en découle déductivement).

6) l'identité dans $\N$: $x \mapsto x$ est une suite infinie. L'axiome du choix est fait pour garantir autre chose.

Médiat_Suprème

6) La question est plus complexe que cela, en posant cette question, vous semblez penser qu'il n'y a qu'un seul $\mathbb R$ avec AC et un seul sans, alors que (si ZF(C) est consistante, il existe des cas où $\mathbb R$ est dénombrable (dans un certain sens, mais qui empêche la comparaison)

Neknek

Bon je pense qu'il me faudra un peu plus étoffer ma connaissance des réels.
Ce que je connais des réels est assez basique,
deux constructions : faire "converger les suites de Cauchy" ou par les coupures de Dédekind
les propriétés classiques : non dénombrable, complet etc...

A part ça je ne connais pas grand chose, par exemple des réels dénombrables ? jamais entendu parler.

Poirot

En aucun cas $\mathbb R$ n'est dénombrable. Je pense que @Médiat_Suprème faisait référence au paradoxe de Skolem : Si $\mathsf{ZF}$ est consistante, il en existe des modèles dénombrables, et le $\mathbb R$ d'un tel modèle est en particulier un ensemble dénombrable. Bien sûr le paradoxe n'est qu'apparent, mais je ne sais pas si ça t'intéresse tant que ça. Dans tous les cas, le $\mathbb R$ en question étant dénombrable ne peut être le même que "le vrai $\mathbb R$", même si ça ne veut pas dire grand-chose.

Neknek

@Foys
je vois bien que la fonction identité permet de définir une suite avec ma compréhension des maths habituelle (pour faire court une suite est une indexation d'éléments donc une fonction d'ensemble de départ N), cependant je la mets un peu de côté et me restreins uniquement à ce que j'ai pu construire avec les ensembles.

Ce que j'ai acquis dans la construction des ensembles : 
-> l'identité dans N est une fonction c'est à dire un sous ensemble de NxN
-> la construction d'un produit fini cartésien, ça c'est bon aussi.

Ce que j'appelle "suite" c'est un élément d'un produit cartésien infini d'ensembles non vides, à part l'axiome du choix je ne vois pas comment obtenir une suite dans ZF.
(c'est sans doute ma définition de "suite" qui n'est pas bonne).

Foys

A part ça je ne connais pas grand chose, par exemple des réels dénombrables ? jamais entendu parler.

Si ZFC est non contradictoire, il existe (théorème de complétude) au moins une structure qui vérifie tous les axiome de ZFC (on appelle cela un "univers"  et (cf textes techniques de théorie des ensembles) il existe alors plusieurs (beaucoup) de tels univers parfois très différents les uns des autres, dont certains en contiennent d'autres et ce, carrément en tant qu'ensembles dénombrables (qui emploient la même notion d'appartenance et sont également transitifs). Dans un tel cas si $U$ est un univers et $M\subseteq U$ un univers dénombrable, il y a un $\R$ dans $M$ et celui-ci est alors également dénombrable (via une bijection qui alors n'appartient pas à $M$ ce qui n'entraîne pas de contradiction du coup).

Foys

Ce que j'appelle "suite" c'est un élément d'un produit cartésien infini d'ensembles non vides, à part l'axiome du choix je ne vois pas comment obtenir une suite dans ZF.
(c'est sans doute ma définition de "suite" qui n'est pas bonne)

@Neknek cette définition est bonne et l'identité est un élément du produit cartésien infini $\prod_{x \in \N} \N$ (= $\N^{\N}$; qui est une partie de $\mathcal P (\N \times \N)$).

L'axiome du choix dit: tout produit cartésien d'ensembles non vides est non vide. Sa négation ne dit pas "tout produit d'ensembles non vides est vide" (mais elle dit qu'il existe [...]).

Neknek

C'est noté mais je vais me limiter d'abord au "vrai R" pour reprendre les termes de @Poirot.

Poirot

Autrement dit, l'axiome du choix est nécessaire pour établir l'existence de certaines suites, mais heureusement pas pour toute suite !

Neknek

Je suis un peu buté, et je m'en excuse par avance.
De ce que je comprends la fonction identité c'est un ensemble de couples { (1;1) ; (2;2) ; ...}
Ce que je sais construire c'est le n-uplet (1;2; .... ; n)
Mais je ne sais toujours pas comment construire "l'infini-uplet" : (1;2;3;4; ...) autrement dit ce que j'appelle une suite.

Foys

Une suite (plus généralement une famille indexée) n'est rien d'autre qu'une fonction.

Poirot

Par définition, $\prod_{n \in \mathbb N} \mathbb N$ c'est l'ensemble des fonctions de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$. Un "infini-uplet" ça n'a aucun sens.

Martial

@Neknek : Thanks God tu n'as pas besoin de l'axiome du choix pour définir les réels. Le schéma de compréhension suffit.

D'abord, il est facile de vérifier que si $a$ et $b$ sont des ensembles, alors on peut parler de l'ensemble des fonctions de $a$ dans $b$, noté $b^{a}$. Formellement,

$$b^{a} = \{f \in \mathscr P(a \times b) : Fonc(f) \land dom(f)=a \land Im(f) \subseteq b\},$$

où $Fonc(f)$ signifie

1) $\forall z (z \in f \Rightarrow \exists x \exists y, z=(x,y))$.

2) $\forall x \forall y \forall z ((x,y) \in f \land (x,z) \in f) \Rightarrow y=z)$.

(Ces deux phrases sont exactement la signature de @Foys).

Tu peux donc parler en toute quiétude de l'ensemble $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ de toutes les fonctions de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Q}$, i.e. de l'ensemble de toutes les suites à valeurs rationnelles.

Maintenant, comme la phrase "$u$ est une suite de Cauchy" peut (théoriquement) être définie par une formule ensembliste, par compréhension tu peux parler de l'ensemble $A$ des suites de Cauchy à valeurs dans $\mathbb{Q}$.

Tu définis alors sur $A$ la relation $\sim$ par

$$u \sim v \Leftrightarrow \lim \limits_{n \to \infty} (u_n-v_n)=0,$$

ce qui peut aussi s'exprimer par une formule ensembliste.

Puis tu poses $\mathbb{R}=A/\sim$.

Enfin, un réel est simplement... un élément de $\mathbb{R}$.

Neknek

@Poirot je sais bien que c'est la définition, mais j'essaye de faire abstraction de mes connaissances usuelles des maths.
Un peu bêtement, je me dis qu'un couple et une suite à deux éléments c'est la même chose mais :
- si je prends (5 ; 6) comme un couple, avec la définition au sens Kuratowski c'est défini par : (5 ; 6) = { {5}, {5, 6} }
- mais si je prends (5 ; 6) comme la fonction f de {0;1}->{5;6} tq f(0)=5 et f(1)=6 alors : (5 ; 6) = { (0,5) ; (1;6) } 
Je n'obtiens pas strictement la même chose (sans doute que j'ai commis une grosse bêtise en chemin).

Poirot

L'équivalence avec la Définition de Kuratowski fonctionne avec une identification bénigne. Elle n'a juste pas d'équivalent pour un produit infini.

Neknek

D'accord, je pensais naïvement que l'équivalence se prolongeait jusqu'à l'infini.

Mais alors pourquoi se fatigue-t-on à définir les produits cartésiens (au delà de deux), et pourquoi ne pas simplement définir seulement le produit cartésien de deux ensembles et dire que au delà de deux ce sont des suites (c'est à dire des fonctions) ?

Martial

Pour un produit fini chacun fait comme il veut. Tu peux voir le triplet $(a,b,c)$ comme $(a,(b,c))$, où $()$ désigne la paire de Kuratowski. Tu peux aussi le voir comme $((a,b),c)$, ou encore comme la fonction $f:\{0,1,2\} \to \{a,b,c\}$ définie par $f(0)=a$, $f(1)=b$ et $f(2)=c$.

Mais pour les produits infinis la paire de Kuratowski ne fonctionne plus : par exemple tu ne peux pas écrire

$$(0,1,2,...,n,...)=(0,(1,(2,...,(n,...))...)))$$

avec une infinité de parenthèses, car cet objet est mal fondé : il admet une chaîne infinie descendante pour la relation $\in$. Tu peux néanmoins le faire dans une théorie des ensembles avec axiome d'anti-fondation, mais ça devient de la haute voltige (voir Peter Aczel op. cit).

Martial

Toutes ces identifications relèvent de la pure convention. Par exemple quand tu écris $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$ (ce qu'on fait dès le plus jeune âge), ensemblistement c'est faux, puisque $3=\{0,1,2\}$ est un ensemble à 3 éléments, tandis que le relatif $+3$ est infini :
$$+3=\{(n+3,n)\mid n \in \mathbb{N}\}.$$

nicolas.patrois

Pour les ensembles de nombres, c’est là.

Neknek

Merci pour ces réponses qui me confortent, de plus effectivement en regardant la construction ensembliste des nombres je me suis rendu compte que la suite d'inclusion NcZcQcRcC n'est pas rigoureuse ce qui m'avait un peu interloqué au début (j'avais résolu ce problème en me disant que mentalement si je travaille dans R j'attribue la notation N, Z etc.. uniquement pour le sous-ensemble de R qui est la projection du "N","Z" etc.. de départ, ce qui me permet quand même d'avoir une inclusion mais bon ça c'est ma tambouille mentale).

Neknek

J'ai continué mon travail de compréhension et je suis arrivé notamment aux théorèmes d'incomplétude de Godel, et j'ai par la même à peu près (très à peu près) compris la notion de vérité, démontrable etc... même si c'est un véritable casse-tête ce truc, pas étonnant de voir comment a apparemment fini Godel lui-même.

Bref, question 7 :
est-ce que dans le modèle standard de N (si j'ai bien compris, défini comme étant le plus petit ensemble vérifiant Péano) est-on sûr qu'il n'y a que les nombres entiers classiques ?

(Dans le même ordre d'idée dans la théorie de la mesure de Lebesgue quand on pose 0xinfini=0 quelle est la définition formelle ou construction de infini : est-ce un nombre ?)

Martial

7) Le modèle standard est, à isomorphisme près, le seul à être bien ordonné par $\leq$, où $\leq$ est définie par

$$a \leq b \Leftrightarrow \exists c (b=a+c).$$

Or, $\mathbb{N}$ est bien ordonné par $\leq$. Donc on peut répondre oui à ta question, le seul bémol étant qu'on ne sait pas bien ce que sont "les nombres entiers classiques".

8) Attention : dans la théorie de la mesure de Lebesgue on ne "pose" pas $0 \times \infty =0$. (Ou alors, quand on le fait, c'est localement et par pure convention). Ce qu'on fait c'est qu'on DEMONTRE que toute réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle est encore de mesure nulle... ce qui n'est pas vrai en général pour les réunions indexées par un ensemble infini non dénombrable.

Neknek

Merci pour ces éclaircissements! (je suis bientôt au bout de mes questions.)

9) De même que pour les réunions, existe-t-il des produits d'ensembles indexés sur des ensembles non dénombrables ? et par la même des suites qui comptent un nombre indénombrable de termes ? Si oui, est-ce pour cela qu'un prof de fac m'a dit un jour que l'espace des fonctions c'est en fait l'espace des suites (il ne me l'avait pas expliqué) ?

Edit : est-on sûr que dans le modèle standard il n'y a pas d'élément infini ?
est-ce que l'on sait s'il existe des modèles non-standards d'entiers si on retire la partie arithmétique (et que l'on garde que l'axiomatique de base de N) ?

Foys

Edit : est-on sûr que dans le modèle standard il n'y a pas d'élément infini ?

Ca n'existe pas vraiment, le "modèle standard". S'il y a plusieurs univers (et via le théorème de complétude soit il n'y en a aucun soit il y en a plusieurs), chacun contient son ensemble des entiers.

Lorsqu'on travaille au sein d'un univers $U$ de référence disons que son ensemble des entiers "$\N_U$" à lui est standard mais que dans d'autres univers $V$ construits à partir de $U$, il y a aussi des objets "ensembles des entiers naturels de $V$" différents de l'ensemble des entiers naturels de l'univers de référence et qui ne sont plus standards sauf dans des cas (qui existent) où ils coïncident avec l'ensemble des entiers de $U$. Concrètement un autre univers va être ici une formule à une variable libre $x$: $\varphi_V(x)$ et une formule à deux variables libres $x,y$: $\psi_V(x,y)$, et on définit pour toute formule ensembliste, par induction, "une traduction" $\tau(a \in b):= \psi_V(a,b)$, $\tau(A \wedge B ):= \tau(A) \wedge \tau (B )$, $\tau(\neg A) := \neg (\tau A)$ et $\tau (\exists u A):= \exists u,\left (  \varphi_V (u) \wedge \tau (A) \right )$. Alors "$(\varphi_V,\psi_V)$ est un modèle de X" veut dire "toutes les traductions d'axiomes de X sont des théorèmes" avec X qui vaut ZF ou ZFC etc. Lorsque c'est le cas leurs conséquences vont être aussi des théorèmes, d'où un certain $\N_V$ tel que $\varphi(\N)$ et qui vérifie la traduction de "c'est le premier ordinal infini" ($\N_V$ est l'ensemble des entiers de $\varphi_V$ et dans $U$ dans certains cas on peut prouver qu'il y a un $x$ tel que $\psi_V (x, \N_V)$ et aussi une infinité de $y$ tels que $\psi_V (y, x)$ et $\varphi_V (y)$, infinité au sens de U et non de V. Un tel $x$ est alors un "entier infini de $V$").

Dans un tel cas (entre parenthèses) on dit que $\N_U$ est standard et $\N_V$ non standard etc.

Neknek

Ok, je pense avoir compris l'idée, ça résout déjà une partie de la question, merci.

N'est-il pas possible de faire une sorte d'intersection de Nu et Nv  et d'appeler ça modèle standard ?

Neknek

10) ZFC sert-il de support pour toutes (ou presque) les mathématiques ? a-t-on des parties importantes qui ne reposent pas sur ZFC ?

Ce sera ma dernière question.

Un des points qui est ressorti de ma recherche est qu'en maths on sait faire tout un tas de choses plus compliquées les unes que les autres mais qu'on n'a pas réussi à formaliser correctement la définition des entiers naturels ! (puisqu'il existe des modèles "non-standards").
Je ne m'y attendais vraiment pas.
Ça rappelle que l'humilité est de mise même en maths.

Médiat_Suprème

C'est exact qu'il n'y a pas de théorie catégorique en tous cardinaux (et même alors, il y aurait autant de modèles que de cardinaux), néanmoins on peut dire tout ce que l'on a envie de dire à propos des entiers (même si on est amené un jour, à ajouter des axiomes), c'est déjà pas mal.