Des vecteurs quasi-orthogonaux

bisam

Bonjour,$\newcommand{\norm}[1]{\left\| #1 \right\|}$ $\newcommand{\ps}[2]{\left\langle #1,#2 \right\rangle}$

Dans un exercice trouvé dans la RMS, donné au concours de l'ENS à des MP en 2021, on trouvait ceci :

Soit $E$ l'espace euclidien $\R^n$ muni du produit scalaire canonique.
Soit $(u_1,\dots,u_m)$ des vecteurs unitaires de $E$ et $(c_1,\dots,c_m)$ des réels strictement positifs tels que \[\sum_{i=1}^m c_i u_iu_i^{\top} = I_n\] (où $u_i^{\top}$ désigne la transposée du vecteur $u_i$ assimilé à une matrice colonne et $I_n$ la matrice identité).

1. Montrer que pour tout vecteur $X$ de $E$, \[\norm{X}^2=\sum_{i=1}^m c_i \ps{X}{u_i}^2\]
2. Montrer que pour des tous réels $(\theta_1,\dots,\theta_m)$, \[X=\sum_{i=1}^m c_i\theta_iu_i \quad \Rightarrow \quad \norm{X}^2\leq \sum_{i=1}^m c_i\theta_i^2\]
3. En déduire que si $A$ est une matrice symétrique réelle alors \[|\det(A)|\leq \prod_{i=1}^m \norm{Au_i}^{c_i}\]

Je laisse cet exercice à votre sagacité. Seule la dernière question est un peu technique mais ne devrait pas poser de problèmes aux plus aguerris. Je pense qu'il peut aider à mieux comprendre la question que je souhaite poser.

En fait, je me demandais si l'hypothèse faite au début de l'énoncé sur les vecteurs $(u_1,\dots,u_m)$ pouvait être facilement réalisée.

On constate rapidement que si elle est réalisée alors :

1. $\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i=n$,
2. La famille $(u_1,\dots,u_m)$ est génératrice de $E$, et en particulier $m\geq n$.

En revanche, rien ne transparaît sur l'orthogonalité des vecteurs.

Pourtant, je n'ai pas réussi à construire de telles familles autrement qu'en prenant plusieurs bases orthonormées et en faisant des pondérations barycentriques strictement positives.

Par exemple, dans $E=\R^2$ muni du produit scalaire canonique, on peut prendre $m=4$, $u_1=(1,0)$, $u_2=(0,1)$, $u_3=\frac15 (3,4)$ et $u_4=\frac15 (-4,3)$, affectés des coefficients $c_1=c_2=\frac14$ et $c_3=c_4=\frac34$.

Ma question est : peut-on construire de telles familles autrement ?
Plus précisément et mathématiquement, s'il existe une famille $(u_1,\dots,u_m)$ de vecteurs unitaires de $\R^n$ et des scalaires strictement positifs $(c_1,\dots,c_m)$ tels que \[\sum_{i=1}^m c_i u_iu_i^{\top} = I_n\] existe-t-il une sous-famille qui soit une base orthonormée de $\R^n$ ?

Merci pour vos lumières.

JLapin

La condition est bien

$$\sum_{i=1}^m c_i u_i u_i^T=I_n$$

n'est-ce pas ?

bisam

Oui, bien sûr...

J'ai pourtant relu 4 fois.
J'ai corrigé ci-dessus.

john_john

Bonjour,
je pense que l'on peut construire des exemples aussi tordus que l'on veut : si $u_1, u_2,..., u_n$ sont unitaires, on choisit $c_1,c_2,...c_n$ tous $>0$ assez petits pour que la matrice ${\rm I}_n-\sum c_ku_k\,^tu_k$ soit définie positive, puis on décompose la forme quadratique associée en carrés par la méthode de Gauss ; cela fournit une décomposition ${\rm I}_n=\sum c_ku_k\,^tu_k+\sum c'_ku'_k\,^tu'_k$, famille dont a priori  aucune base orthonormée ne peut être extraite.

(Abréviations supprimées)

john_john

Par exemple, pour $n=2$ (je te laisse le soin de normaliser les vecteurs), on a l'identité

$x^2+y^2=\Big((x+y)^2+(3x+4y)^2\Big)/50+4(x-13y/40)^2/5+1151y^2/2000$

bisam

Effectivement, si on prend les vecteurs \[u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad u_2=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}, \quad u_3=\frac{1}{\sqrt{1769}}\begin{pmatrix}40 \\ -13\end{pmatrix}, \quad u_4=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} \]et les scalaires \[c_1=\frac{1}{25}=\frac{80}{2000}, \quad c_2=\frac{1}{2}=\frac{1000}{2000}, \quad c_3=\frac{1769}{2000}, \quad c_4=\frac{1151}{2000} \] alors on a bien \[\sum_{i=1}^4 c_iu_iu_i^{\top}=I_4\] et aucune sous-famille qui soit une base orthonormée de $\R^2$.

J'avais pensé en termes d'applications linéaires et pas du tout aux formes quadratiques.
Bien joué, @john_john.

NicoLeProf

Bonjour,

je suis hésitant dès la question 2, quel dommage oui ! J'essaie de manipuler Cauchy-Schwarz mais je me retrouve avec une somme élevée au carré. Le bazar quoi ! J'ai aussi essayé avec la question 1 mais sans succès. Avez-vous un corrigé de cet exercice très intéressant sous la main?

bisam

L'exercice est le numéro 31, dont le corrigé commence à la page 24 de ce pdf.

troisqua

Juste un détail dans la formulation de la question 2, le "pour des réels" peut s'entendre comme "il existe des réels" et je le trouve très maladroit à ce niveau. Évidemment, en s'intéressant à l'implication on comprend de suite la quantification "pour tout" mais bon, ça fait un peu : on demande de la rigueur aux étudiants sans se l'appliquer à soi-même.

bisam

Bonne remarque. J'avais un tout petit peu modifié l'énoncé original en le copiant sur le forum et je suis allé trop vite dans la reformulation. Je corrige ci-dessus en remplaçant par "pour TOUS réels".

D'ailleurs, l'énoncé ne le demandait pas... mais il aurait pu demander de prouver que pour tout vecteur $X$ de $E$, il existe des réels $(\theta_1,\dots,\theta_m)$ tels que $\displaystyle X= \sum_{i=1}^m c_i\theta_iu_i$.

LeVioloniste

@bisam Sur quel site as-tu trouvé ce fichier ? Je le trouve très intéressant, et très récent ! J'aimerais lire d'autres exercices.

NicoLeProf

C'est très intéressant @bisam, merci beaucoup à toi d'avoir partagé ! Je conserve précieusement ce fichier !

En revanche, quelque chose me gêne dans le corrigé dès la question 1. (je n'avais pas tout à fait la même chose et je n'avais pas de conflit de notations avec ma méthode) : je lis dans le corrigé : $M_i=u_i u_i ^\top$ et plus loin : $\sum\limits_{i=1}^n c_i M_i=I_n$. Ainsi, pour que les notations aient un sens, il faut que $M_i$ soit une matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ et ainsi, il faut considérer dans l'égalité : $M_i=u_i u_i ^\top$ que $u_i$ est un vecteur colonne de $\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ donc que $u_i ^\top$ est un vecteur ligne de $\mathscr{M}_{1,n}(\mathbb{R})$.

Plus loin, je lis : $X=\sum\limits_{i=1}^m c_i \theta_i u_i$ donc $X$ est un vecteur colonne de $\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})$. Mais je lis ensuite : $\langle X,u_i \rangle=X u_i^\top$ : cette égalité est fausse et n'a aucun sens car vu le contexte précédent, $X$ est un élément de $\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $u_i^\top$ est un élément de $\mathscr{M}_{1,n}(\mathbb{R})$ ...

Avec les notations du corrigé, il faudrait plutôt écrire : $\langle X,u_i \rangle=X^\top u_i$ et $\langle u_i,X \rangle=\langle X,u_i \rangle=u_i^\top X$ (par symétrie du produit scalaire). Ce qui permet de conclure proprement, sans conflits sur les produits matriciels et notations...

Vous confirmez ce problème? Quelles sont les conventions là-dessus : comment interprétez-vous la notation $u_i \in \mathbb{R}^n$ ? Ou la phrase : $u_i$ est un vecteur de $\mathbb{R}^n$? (Ligne ou colonne? Cela change tout ! A mon avis, il faut être très précis dans ce cas ! )

OShine

@bisam
Sacré niveau tes exercices ! Ca ressemble à du PSI*.
Rarement vu des exercices aussi durs en PSI.

Georges Abitbol

Je propose aussi $u_0 := (1,0)$, $u_1 := (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ et $u_2 := (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, et chaque $c$ vaut $\frac{2}{3}$.

@Nico : Oublie colonnes et lignes ; si tu veux t'y retrouver, considère juste que $uu^T$ désigne le projecteur orthogonal sur la droite engendrée par $u$.

J'avais lu un article très intéressant, de Kruglyak, Rabanovich et Samoilenko, appelé "On sums of projections" qui parle, pour tout $n$, de l'ensemble des réels $c$ tels qu'il existe $n$ projecteurs orthogonaux dont la somme vaut $c$ fois l'identité (la dimension de l'espace est au choix). Par contre, je crois me souvenir avoir galéré à trouver l'article en anglais (il est même possible que j'aie demandé la référence sur ce forum, mais je ne me souviens plus).

john_john

Bien vu, Georges ! Plus généralement, dans $\R^n$, construire $n+1$ vecteurs unitaires dont les produits scalaires mutuels soient égaux à $-1/n$ et les $c_k$ égaux à $n/(n+1)$.

Georges Abitbol

Et les vecteurs d'un cube, ça marche aussi. Et pour les autres polyèdres réguliers, à part l'octaèdre où les vecteurs sont déjà orthogonaux (je ne sais pas encore, j'y réfléchis) ?

EDIT. Hahahaha, bien vu aussi, @john_john

Ben314159

Salut,
SI je ne me suis pas trompé (donc c'est pas gagné...), pour construire des vecteurs $u_i$ correspondant à l'énoncé, ou plus précisément pour construire des vecteurs $v_i\!=\!\sqrt{c_i}u_i$ tels que $\displaystyle \sum_{i=1}^{m}v_iv_i^{T}\!=\!I_n$ il suffit (et il faut) partir d'une matrice $m\!\times\!n$ dont les $n$ vecteurs colonnes forment une famille orthonormée de $\R^m$ (donc la matrice d'une isométrie de $\R^n$ sur un s.e.v. de $\R^m$ : $A^{T}\!A\!=\!I_n$) puis prendre comme vecteurs $v_i$ les vecteurs ligne de cette même matrice (donc les vecteurs colonne de la transposée).
L'exemple de Georges Abitbol correspond à la $A=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{6}}{3}& 0 \\ -\frac{\sqrt{6}}{6}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{6}}{6}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$ qui vérifie bien $A^{T}\!A\!=\!I_2$ donc les vecteurs lignes donnent une solution.

bisam

@NicoLeProf : Tu as raison : c'est une coquille de ma part dans le corrigé.
@Oshine : Dans ma prépa, il n'y a qu'une seule classe qui regroupe PSI et PSI*. Mais il faut vraiment que tu arrêtes de tout classer par "niveau".