Complétion d'un espace de fonctions

tetsu
Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonjour, 
j'ai un sous-espace vectoriel $H_0 \subset \mathcal{F}(X, \mathbb{C}) $ de fonctions d'un ensemble $X$ dans $\mathbb{C}$, et il est muni d'un produit scalaire tel que les fonctions d'évaluations $(e_x)_{x \in X}$ sont continues (donc uniformément continues car linéaires). 
Je veux compléter cet espace pour en faire un espace de Hilbert $H$, mais je veux que $H$ soit encore un espace de fonctions  $H \subset \mathcal{F}(X, \mathbb{C})$.
Je peux prendre la complétion de $H_0$ avec les classes d'équivalence de suites de Cauchy pour avoir une espace de Hilbert $H$ qui contient $H_0$ comme sous-espace dense, et prolonger continument les fonctions d'évaluations à $H$ car elles sont uniformément continues sur $H_0$. Je peux alors associer à chaque élément de $H$ une fonction définie sur $X$. Pour pouvoir remplacer les éléments de $H$ par ces fonctions, il me faudrait une bijection ! 
Autrement dit, si deux suites de Cauchy $(f_n)$ et $(g_n)$ de $H_0$ sont telles que $(f_n - g_n)$ converge ponctuellement vers $0$, est-ce que $\| f_n - g_n \|_{H_0}$ tend vers $0$ ?

Réponses

  • gerard0
    Modifié (December 2023)
    Bonjour.
    Sans condition supplémentaire sur $X$ et son  produit scalaire, on devine que non. Il est classique que les $e^{nx}$ convergent ponctuellement vers 0 sur $]0,+\infty[$, mais pas en norme infinie.
    Il vaudrait mieux que tu rentres dans les détails ...
    Cordialement.
  • raoul.S
    Modifié (December 2023)
    Voici un contre-exemple : on prend $X:=B(0,1)$ la boule ouverte de rayon 1 dans $\C$. Pour $H_0$ on prend le sous-espace des fonctions holomorphes sur $X$ de carré intégrable et qui admettent une limite en $1$. On considère le produit scalaire suivant sur $H_0$ : $\displaystyle \langle f,g\rangle := \int_{B(0,1)} f(x+iy)\overline{g(x+iy)}dxdx + \lim\limits_{z\to 1}f(z)\overline{g(z)}$.

    Avec un peu d'analyse complexe on peut montrer que les fonctions d'évaluations sont continues. À présent si on considère la suite de fonctions $(f_n:z\mapsto z^n)_n$ alors on voit que pour tout $x\in X$, $e_x(f_n)=x^n\to 0$. Mais $\|f_n\|\geq |f(1)|=1$ pour tout $n\in \N$.
  • tetsu
    Modifié (December 2023)
    Merci pour vos réponses !
    @gerard0 J'ai mal formulé ma question, le produit scalaire est sur $H_0$ ! Ça limite un peu les possibilités pour la norme de $H_0$.
    L'ensemble $X$ est absolument quelconque, mais il est vrai que mon produit scalaire sur $H_0$ ne vient pas de nulle part.

    Merci pour le contre-exemple @raoul.S ! Effectivement c'est une suite de Cauchy qui converge ponctuellement mais pas en norme.
    Il me faut plus d'hypothèses, je vais détailler un peu mon problème.
  • tetsu
    Modifié (December 2023)
     Je cherche à démontrer le  théorème de Moore-Aronszajn.
    https://en.wikipedia.org/wiki/Reproducing_kernel_Hilbert_space#Moore%E2%80%93Aronszajn_theorem
    Je pars d'une fonction $K: X \times X \rightarrow \mathbb{F}$  qui est définie positive, c'est-à-dire que
        \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall a_1, ..., a_n \in \mathbb{C}, \quad \forall x_1, ..., x_n \in X, \quad
            \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i \overline{a_j} K(x_i, x_j) \in \mathbb{R}^+. \]
    Je veux montrer qu'il existe un RKHS de noyau $K$, c'est-à-dire un espace de Hilbert $H \subset \mathcal{F}(X, \mathbb{C})$ qui contient les fonctions $K(\cdot\,, x)$ et tel que $\langle f, K(\cdot\,, x) \rangle = f(x)$ pour tous $f \in H$ et $x \in X$.
    On définit $H_0$ comme l'espace vectoriel engendré par les fonctions $K(\cdot\,,x)$, et on le munit du produit scalaire (en vérifiant qu'il est bien défini):
      \[ \text{pour } f = \sum_{i=1}^n \alpha_i K(\cdot\,,x_i), \quad g = \sum_{j=1}^m \beta_j K(\cdot\,,y_j), \qquad \langle f,g  \rangle_{H_0} := \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \alpha_i \overline{\beta_j}   K(x_i,y_j). \]
    Ce produit scalaire vérifie la propriété de reproduction sur $H_0$ : $\langle f, K(\cdot\,, x) \rangle = f(x)$ pour $f \in H_0$ et $x \in X$.
    Il faut alors compléter $H_0$ dans $\mathcal{F}(X, \mathbb{C})$.
    La question de mon premier message revient à montrer que si un suite $(f_n)$ de Cauchy dans $H_0$ converge ponctuellement vers $0$ alors elle converge en norme vers $0$, et je me rends compte que j'ai déjà vu une preuve de ça:
    pour $\epsilon \geq 0$, soit $N$ tel que $n \geq N \Rightarrow \|f_n - f_N\|^2 \leq \epsilon$, on décompose $f_N = \sum_{i=1}^k \alpha_i K(\cdot\,, x_i)$ et on a :
    \[ \| f_n \|^2 = \langle f_n - f_N, f_N \rangle + \langle f_N, f_n \rangle \leq M\epsilon + \sum_{i=1}^k \alpha_i f_n(x_i) ,\]
    avec $M$ une borne de $(f_n)$, et les $f_n(x_i)$ tendent vers $0$ par hypothèse. Donc $(f_n)$ tend vers $0$ en norme, et on a utilisé la définition du produit scalaire à partir de $K$.
    Ici, l'application de mon premier message est donc injective.Maintenant le complété (formel avec les suites de Cauchy) $H$ peut être vu comme un espace de fonctions: je peux associer à chaque élément de $H$ une unique fonction définie sur $X$. Est-ce que je peux alors simplement remplacer les éléments de $H$ par ces fonctions pour avoir un espace de Hilbert $H'$ tel que $H_0 \subset H' \subset \mathcal{F}(X, \mathbb{F})$ ?
    J'imagine qu'il faut faire un peu attention et je ne veux rien oublier.La fonctions d'évaluations sont linéaires sur $H_0$ donc elles sont linéaires sur $H'$ par densité, ainsi l'addition et la multiplication par un scalaire sur $H'$ sont point par point comme sur $\mathcal{F}(X, \mathbb{C})$.
    Est-ce que je dois vérifier autre chose ?
  • Est-ce que je dois vérifier autre chose ?

    Non, je pense que c'est tout bon. Sauf peut-être ton égalité $\| f_n \|^2 = \langle f_n - f_N, f_N \rangle + \langle f_N, f_n \rangle$, à moins que quelque chose ne m'échappe il me semble qu'elle n'est pas bonne. Mais le résultat final est juste, $(f_n)$ tend bien vers $0$ en norme.

  • Ah oui en effet, je voulais dire $\|f_n\|^2 = \langle f_n - f_N, f_n \rangle + \langle f_N, f_n \rangle$
    Merci !
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