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L'étoile en 3D en haut du sapin

Modifié (December 2023) dans Combinatoire et Graphes

C'est une étoile à 5 branches classique, avec 5 sommets externes et 5 sommets internes, à laquelle on a ajouté 2 sommets afin d'en faire une étoile en 3D. Je me suis intéressé aux propriétés mathématiques vérifiées par cette étoile en 3D quand ses 2 sommets supplémentaires sont à la bonne distance par rapport au centre de l'étoile. On sait que l'étoile à 5 branches en 2D vérifie pas mal de propriétés mathématiques. Par exemple :
  • Le rapport de l'aire du pentagone intérieur par l'aire d'une seule branche est le même que celui de l'aire des 5 branches réunies par rapport à celle du pentagone intérieur (et donc ce rapport est la racine carrée de 5).
  • Parmi les 990 (45x44/2) couples de segments qu'on peut former dans cette étoile, il y en a 375 (37.88%) pour lesquels le rapport d'un segment à l'autre est égal au nombre d'or.


Si O est le centre de l'étoile en 3D, et si OB = 1, alors OA est égal au carré du nombre d'or. Si OD est égal au nombre d'or, alors les triangles ODA et ODB sont semblables et rectangles en O (ce sont des rectangles d'or coupés en 2 au niveau de la diagonale). Cela permet de démontrer que BDA est un triangle d'argent isocèle en B, et donc que CDA est un triangle d'or isocèle en A.

Dans cette étoile à 5 branches en 3D, parmi les 2145 (66x65/2) couples de segments qu'on peut former, il y en a 875 (40.79%) pour lesquels le rapport d'un segment à l'autre est égal au nombre d'or. Cette étoile a 12 sommets, 20 faces et 30 arêtes, comme l'icosaèdre régulier convexe. Toutes ses faces sont des triangles d'argent identiques.

Réponses

  • Modifié (December 2023)
    Un sapin plus haut que les immeubles, quelques esprits chagrins affirmaient pourtant que [*** modéré, car amène à dérivation de la discussion. AD]
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Si vous voulez créer des étoiles décoratives (avec plein de réglages), c’est par ici (et on y trouve aussi les polyèdre platoniciens).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • A priori, c'est un effet de la perspective si le sapin paraît plus haut que les immeubles. Ce sapin (artificiel) ne doit pas dépasser 6 ou 7 mètres.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (December 2023)
    @lourrran je pensais effectivement à la perspective qui doit en rajouter, mais a priori il ferait 14 mètres de haut d'après cet article, même si ça me semble assez incroyable.
    https://nantes.maville.com/actu/actudet_-nantes.-le-sapin-manege-tourne-place-graslin_52716-3590086_actu.Htm
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Modifié (December 2023)
    [*** Hors sujet. AD]
    Et merci à JeremyLebre  pour son étude de l'étoile de Noël.
  • Modifié (December 2023)
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    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (December 2023)
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  • Modifié (December 2023)
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    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • ADAD
    Modifié (December 2023)
    Le sujet n'intéresse plus personne ! Alors on ferme.
    Si vous continuez ainsi, il ne sera pas nécessaire de souhaiter une bonne année 2024, elle sera exécrable !
    AD
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