Méthode de simulation de Box Muller

Alban_

Bonjour,
j'ai besoin de quelques explications sur la méthode de Box-Muller pour simuler un couple de va indépendantes qui suivent une loi normale. Je suis le livre d'Appel "probabilités pour non-probabilistes". Le principe est de remarquer : 

 1. On suppose qu'on dispose d'un couple de va indépendantes $(X, Y)$ qui suivent une loi normale (centrée réduite).

 2. Le couple $(X,Y)$ admet pour densité $f(x,y)=\frac{1}{2\pi} e^{-(x^2+y^2)/2}$.

 3. On pose $R=\sqrt{X^2+Y^2}$ la distance de $(X,Y)$ à l'origine et on montre que $R$ a pour densité $f_R(r)=re^{-r^2/2}$ pour $r>0$.

Les 3 assertions ne me posent pas trop de problème (même si l'existence en 1 ne me paraît pas claire, je veux bien admettre cette existence).

Maintenant, pour la simulation proprement dite, on prend deux va indépendantes $U$ et $V$ qui suivent la loi uniforme sur $[0;1]$. Puis on pose $\theta=2\pi U$ et $R=\sqrt{-2\ln V}$. Donc $\theta$ suit la loi uniforme sur $[0;2\pi]$ et $R$ a pour densité $f_R(r)=re^{-r^2/2}$ pour $r>0$. Enfin on pose $U=R\sin\theta$ et $V=R\cos\theta$ (pourquoi inverser par rapport à l'habitude le sin et le cos ?). DONC $U$ et $V$ sont des va indépendantes qui suivent la loi normale (centrée réduite).

Donc, si je comprends bien, le principe est de tirer les coordonnées d'un point selon une loi normale et d'écrire ses coordonnées en polaires. Comme on remarque qu'on sait simuler les va qui donnent les coordonnées en polaires, cela montre en écrivant le tout en coordonnées cartésiennes qu'on sait simuler un couple de va normale ? J'ai l'impression que c'est ça, mais ça me chagrine un peu et je suis gêné par le DONC que j'ai mis en gras. Il vient juste du fait qu'on a une bijection entre coordonnées polaires et cartésiennes ?

Bibix

Bonjour,
Je n'ai pas le livre mais je connais cette construction. Je suppose que tu voulais écrire $X = R \sin(\theta)$ et $Y = R \cos(\theta)$. L'inversion du sin et du cos ne change rien vu que leur role est parfaitement symétrique. Pour le DONC, c'est effectivement facile à comprendre en utilisant cette bijection entre polaire et cartésien. On a pour toute $f$ mesurable bornée (par CDV), $$\mathbb{E}[f(X,Y)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}_+ \times ]0,2\pi[} f(r \sin(t), r \cos(t)) r e^{-\frac{r^2}{2}} dr dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}^2} f(x,y) e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{y^2}{2}} dx dy.$$
Donc avec le théorème de la fonction muette, on obtient ce qui te chagrine (dès que la densité $p(x,y)$ est de la forme $f(x) g(y)$, on sait que les deux variables sont indépendantes car on a alors $\mathbb{E}[f_1(X) f_2(Y)] = \mathbb{E}[f_1(X)] \mathbb{E}[f_2(Y)]$ pour toutes fonctions bornées mesurables $f_1, f_2$).

Alban_

Oui, je me suis loupé sur la définition de X et Y. L'inversion cos/sin ne me pose pas de problème, mais ça m'a fait tiqué de les mettre dans le sens "inhabituel".

Je me disais que c'était une histoire comme ça, sans pouvoir mettre le doigt dessus : de mon temps, il me semble qu'on appelait ça des "fonctions tests". Je vais regarder dans le détail parce que c'est une méthode que je n'utilise jamais vu que ça fait longtemps que je n'ai pas traité de couples de va à densité.

Georges Abitbol

Il n’y a pas d’existence dans 1. 

Alban_

OK, donc en admettant la méthode de la fonction muette et le résultat d'indépendance, je suis d'accord. Je pense que je trouverai la preuve du résultat d'indépendance, mais je ne comprends pas d'où sort l'équivalence de cette méthode ? Si X admet pour densité f, alors le théorème de transfert donne ce qu'il faut (je ne me suis pas soucié des conditions de convergence mais comme g est bornée, ça doit se faire). 

Mais je ne vois pas d'où sort la réciproque. Je lis sur tous les poly que je trouve qu'il s'agit de la définition de la loi, mais je dois dire que je coince. Et cela provient certainement du fait que la formalisme probabiliste à coup d'intégrale sur $\Omega$ de $X d\mathbb P$ m'a toujours échappé.

George Abitbol : je ne comprends pas ton intervention ? Même si la méthode du livre que je suis n'utilise mon 1., 2. et 3 que pour expliquer d'où vient la méthode de Box-Muller, on suppose bien qu'il existe des va normales indépendantes en 1, non ? Je pense que mon incompréhension a la même origine que ma réciproque qui viendrait de la définition de la loi : le formalisme probabiliste m'échappe dès qu'on veut être un peu formel en proba.

Bibix

Bonsoir,

En prenant $f(x) = 1_{x \in A}$ avec $A$ borélien, on obtient $f$ bornée mesurable et $\mathbb{E}[f(X)] = \mathbb{P}(X \in A)$ ce qui est la définition de la loi de $X$... non ?

Alban_

Bien entendu, merci beaucoup !

Georges Abitbol

Oh, je voulais juste dire que quand on dit "on suppose qu'on dispose de truc et on fait blabla", c'est bien souvent qu'on est seulement en train de définir une fonction qui prend un truc en argument et qui fait blabla. C'est le cas, ici. La question de savoir si le domaine de cette fonction est vide ou non n'a rien à voir.

Ce qu'on pourrait appeler le théorème de Box-Muller, c'est : pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires indépendantes normales centrées réduites, alors $\sqrt{X^2 + Y^2}$ est une variable de dont la densité est ce que tu dis et patati et patata. Ça ne suppose pas d'existence de quoi que ce soit.

J'ai fait cette remarque parce que je voulais dire quelque chose mais je ne comprenais pas ton problème

Je crois que j'ai compris, maintenant, et je vais essayer de dire ce que j'en pense : il me semble que le point qui te fait douter est le suivant.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mu$ sur un espace mesurable $E$. Soit $f : E \rightarrow F$, où $F$ est un espace mesurable, et où $f$ est une bijection mesurable dans les deux sens. Notons $\nu$ la loi de $f(X)$. Soit $Y$ une variable aléatoire de loi $\nu$. Alors $f^{-1}(Y)$ a la même loi que $X$. En effet, $f(X)$ et $Y$ ont même loi, donc $f^{-1}(f(X))$ et $f^{-1}(Y)$ ont même loi aussi (c'est immédiat à partir de la définition de loi). Et donc $X$ et $f^{-1}(Y)$ ont même loi !

Ici, $X$ est un couple de variables normales centrées réduites indépendantes, et $Y$ est un couple de variables indépendantes dont la première coordonnée est uniforme sur $[0,1]$ et où la deuxième est la racine carrée d'une variable exponentielle de paramètre $\frac{1}{2}$.

Alban_

OK, merci pour l'explication sur le fait qu'on n'a pas besoin de l'existence.

Pour la suite, j'ai l'impression d'avoir déjà fait ce genre de choses avec une fonction de répartition $F$ d'une va X qui réalise une bijection de $I$ dans $J$ et on montre que $F^{-1}(U)$ suit la même loi que $X$. Je relis le tout pour être sûr d'avoir bien tout intégré.

Georges Abitbol

Oui, oui, je crois que c'est la même chose !