Plus petite période

math65

Bonjour
Je cherche à résoudre

Je ne veux pas tout rédiger mais indiquer les étapes de raisonnement :

1) puisque $A$ est minoré par $0$ alors, il admet une borne inférieure ;

2) $T$ ne peut pas être négatif car $0$ est un minorant.

Pour montrer que $T\neq 0$, raisonnement par l'absurde, je définis une suite de valeur de $A$, qui tendra vers $0$, ce qui est impossible car cela impliquerait que $f$ est constante ;

3) je définis une suite de valeur de $A$ qui tend vers $T$. Par passage à la limite dans $f(x+t_n) =f(x) $, on a $f(x+T) =f(x) $ donc $T \in A$.

Merci.

zygomathique

Salut
ça me semble convenir ... mais : 
il faudra tout de même préciser où la continuité de f intervient ...
enfin remarquer que si t est une période alors kt l'est aussi (avec k entier naturel)
et donc conclure que T est en fait le minimum de A (ce me semble-t-il ...)

math65

La continuité intervient lors des passages à la limite dans les questions 2) et 3).

Ce qui me pose le plus problème est la définition des suites de valeurs dans $A$.

Heuristique

Quelques points d'attention selon moi.

1) L'ensemble vide est minoré mais n'admet pas de borne inf réelle. Il faut donc préciser que $A$ est non vide.

2) La difficulté n'est pas tant de montrer que $T \geqslant 0$ mais de montrer $T \neq 0$, ce qui mérite clairement un argument.

3) Pour l'existence de la suite $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$, cela vient de la caractérisation de la borne inf.

Syntax_Error

@math65. Il peut être utile de savoir que les sous-groupes de $(\R,+) \,$ sont soit discrets, soit denses dans $\R$.

Ici, l'ensemble des période peut-il être dense ?

Chaurien

Plus précisément, il y a quatre types de sous-groupes additifs de $\mathbb R$ : 

• $\{0\}$

• $\mathbb R$ 

• $a \mathbb Z,\  a>0$

• $G$ dense, d'intérieur vide.

Bonne journée de solstice d'hiver 2023

Fr. Ch.

math65

Je ne vois pas trop comment utiliser un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$

2) finalement, mon argument ne tient pas je ne vois pas comment prouver que $T \neq 0$.

3) $T= \inf(A) > 0$
Soit $t \in A$ et $t > T$

On définit la suite $(t_n)$ telle que $t_0=t$ et tel que par récurrence par : si $t_n \in A$ il existe $t_{n+1} \leq t_n$ avec $t_{n+1} \in A$ sinon $t_n =T$.
Ainsi $(t_n)$ est une suite décroissante et minorée donc elle converge. Soit $l$ sa limite.
On a alors $T \leq l$.
On suppose que $T < l$. Dans ce cas $(T+l)/2=Inf(A)$, ce qui est absurde car  $T= \inf(A)$. Donc $T=l$.

Ainsi pour tout $x\in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $f(x+t_n)=f(x)$. Par passage à la limite et par continuité de $f$, on a
$f(x+T)=f(x)$. Cela prouve que $T\in A$.
Merci.

Heuristique

Je pense que ton problème (à la question 2 comme à la 3) vient d'une mauvaise compréhension de l'inf. Si $A$ est non vide et minoré alors il existe une suite $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $A$ qui converge vers $\inf(A)$. Tu peux donc utiliser cette propriété pour les questions 2 et 3.

Pour la question 3, tu souhaites construire une telle suite (ce dont tu n'as pas besoin, elle existe), mais ta construction ne fonctionne pas  : ta suite ne peut garantir $l = T$. Prenons par exemple $A = \mathbb{R}_+^*$ et construisons la suite $(1+\frac{1}{n+1})_{n \in \mathbb{N}^*}$ qui est bien une construction qui peut être obtenue par ta méthode. La suite $t$ admet une limite $l$ qui vaut $1$ donc qui n'est pas l'inf de $A$.

math65

Ok je vois.
Donc dans 2) et 3), j'ai une suite de termes de $A$ qui tend vers $T$
Ainsi pour 3) le problème est réglé.
Pour 2), si $T=0$, à partir de $f(x + t_n)=f(x)$, en passant à la limite j'obtiens $f(x)=f(x)$, ce qui n'est pas incohérent. Comment trouver une incohérence ?

Soc

Tu supposes qu'il n'y a pas de plus petite période strictement positive, et tu t'en sers pour contredire le fait que f soit continue et non constante.

Par exemple en considérant 2 valeurs distinctes et en construisant une suite à partir de la première valeur pour contredire la continuité en l'autre.

Syntax_Error

@math65 : L'ensemble $\cal T \,= \, \{\tau \in \R \mid \forall x\in \R,\ f(x+\tau) =f(x)\}  $ n'est-il pas un sous-groupe de $(\R,+)$ ? Ensuite, l'utilisation de la continuité de $f$ devrait faire tomber le résultat comme un fruit mûr. Pour comprendre l'importance de cette hypothèse, examine le cas de la fonction caractéristique des rationnels $1_{Q}$. Quelle est sa plus petite période (si toutefois elle en admet une) ?

math65

Je ne comprends pas trop où vous voulez me mener mais pour moi si la période tend vers $0$ alors on pourrait pouvoir montrer que $f$ est constante.

En effet, pour tout $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, il existera $t \in A$ tel que $x_2=x_1 + t$ ainsi

$f(x_2)=f(x_1 + t)=f(x_1)$.

gerard0

Prouve cette affirmation, l'existence de ce $t$ ...

Rappel.  En maths, on n'utilise pas des convictions, mais des preuves, basées sur les règles, théorèmes et définitions.
Cordialement.

NB : la période tend vers 0" ne veut rien dire.

zygomathique

1/ par définition de $A$ (ensemble de réels strictement positifs donc minoré par 0) A possède une borne inférieure finie $T$ et $T \ge 0$

2/ supposons $T = 0$ et soit alors $ \epsilon > 0$
$f$ est continue donc il existe un réel $ \eta$  tel que pour tous réels $x$ et $y$ : $ |x - y| < \eta \Longrightarrow |f(x) - f(y)| \le \epsilon $.
Fixons maintenant $x$,
alors par définition de $T$ : $ \exists t \in A $ tel que $  T < t \le T + \eta \iff 0 < t \le \eta$
($ \R$ est archimédien donc) pour tout réel $y$ il existe un entier relatif $k$ tel que $x + kt \le y \le x + (k + 1)t$ donc par continuité de $f$, $\ |f(y) - f(x + kt)| \le \epsilon $
or $t \in A$ donc $t$ est une période de $f$ donc $f(x + kt) = f(x)$    donc     $|f(x) - f(y)| \le \epsilon$
par conséquent : $\forall \epsilon > 0,\  \forall y \in \R,\  |f(y) - f(x)| \le \epsilon$
et il suffit de faire tendre $\epsilon$ vers 0 ...

3/ se déduit immédiatement de la continuité de $f$ ...

Syntax_Error

@math65 : La fonction $1_{Q}$ fournit un exemple de fonction non constante pour laquelle il existe une suite $(T_n)$ de limite nulle formée de réels qui en sont des périodes (prendre $T_n=1/n$ par exemple.

math65

@Syntax_Error $A$ est un sous ensemble discret de $\mathbb{R} $. Je ne vois pas où l'idée de sous-groupe intervient.

@zygomathique ainsi on montre que $f$ est constante.

J'avais pensé montrer que si $\inf(A) =0$ alors $A=\mathbb R_+^*$. Est-ce envisageable ?

JLapin

Tu peux le déduire du fait que f est constante…

math65

@JLapin je voulais plutôt montrer que $A=\R_+^*$ pour en déduire que $f $ constante.

Merci.

JLapin

Non, je ne crois pas trop à cette approche.

math65

Mais a-t-on vraiment $A=\R_+^*$ si $\inf(A) =0$ ?

JLapin

Oui, puisqu'on a $f$ constante.

Syntax_Error

@math65
D'abord, ce n'est pas parce que la borne inf de ton ensemble $A\,$ est nulle que $A\,$ serait égal à ${\R}_{+}^{*}$.

D'autre part il est exact mais pas "évident" (c'est même l'objet des 3 questions de l'exercice) que $A$ soit discret.

Enfin ne peut pas sans plus de justification parler de "la" période d'une fonction périodique $f\,$ car si T est une période de $f$ alors pour tout $k$ entier, $kT$ est encore une période de $f$.

On peut au mieux parler de la plus petite période strictement positive de $f$, mais à condition que... $f$ admette une telle plus petite période strictement positive. Or, une fonction peut être périodique et ne pas admettre de "plus petite période strictement positive". C'est par exemple le cas des fonctions constantes (dont l'ensemble des périodes est $\R\,$), de la fonction caractéristique des rationnels (dont l'ensemble des périodes est $\Q\,$), etc etc. Au passage, pour cette fonction $1_{\Q}\,$ on a $\inf(A)=0$ sans que $A\,$ ne soit égal à  ${\R}_{+}^{*}$.

Par contre, une fonction périodique continue non constante admet une plus petite période strictement positive, et c'est l'objet de l'exercice que de le montrer.

Pour éclaircir les choses: étant donné une fonction $f\,$ définie sur $\R\,$, on définit l'ensemble de ses périodes comme étant l'ensemble ${\cal P}_f$des réels $T$ tels que pour tout $x$ dans $\R$, on ait $f(x+T)=f(x)$, et on dit que $f$ est périodique si  ${\cal P}_f \neq \{0\}$.

On peut alors rattacher ce qui t'est demandé à un résultat classique:

D'une part il est facile de voir que ${\cal P}_f$ est un sous groupe de $(\R, +)\,$
.
D'autre part un lemme classique stipule qu'un sous groupe additif de $\R\,$ est soit dense dans $\R\,$, soit de la forme $a\Z$ pour un certain réel $a \geq 0\,$.

Dans le cas où $f\,$ est continue, si de plus l'ensemble de ses périodes est dense dans $\R$ alors il est assez facile de montrer que $f\,$ est constante.

Ainsi, lorsque $f\,$ est périodique, continue et non constante, l'ensemble de ses périodes ne peut être que de la forme $a\Z\,$ pour un certain réel  $a>0$, d'où le résultat.

Ce qu'on te demande ne consiste bien sûr pas à invoquer le lemme précédent, mais tu peux utiliser utiliser les arguments au menu de sa démonstration pour répondre aux 3 questions de ton exercice.