Construction morphisme entre deux groupes

farey

Bonjour. J'ai récemment fait un exercice dans lequel il était question de construire un morphisme entre deux groupes. J'ai regardé la correction de l'exercice dans lequel le correcteur commence par poser une application avant de démontrer qu'il s'agit d'un morphisme entre les deux groupes. 

Ma question est la suivante : existe-t-il une méthode de construction d'un morphisme entre deux groupes ?
Voici les groupes en question :
- groupe 1: sous-groupe de ϭ(ℤ) engendré pas {s, t} où t: x ↦ x+1 et s: x ↦ -x (ce groupe n'est pas commutatif)
- groupe 2: (G,⊤) | G=ℤ x {-1, 1}: ∀ (a, ξ), (b,η), (a, ξ) ⊤ (b,η) = (a + ξb, ξη) ({(0, -1), (1, -1)} engendre G)
Merci d'avance ...

Poirot

En général non. D'ailleurs il se peut qu'il n'existe aucun morphisme de groupes (à part le morphisme trivial) entre deux groupes donnés.

En algèbre linéaire on peut construire des applications linéaires comme on veut à partir d'une base de l'espace de départ. En théorie des groupes on ne dispose pas d'équivalent de la notion de base. La chose qui s'en rapproche la plus est la notion de présentation par générateurs et relations, qui peut permettre effectivement de construire des morphismes de groupes en faisant bien les choses.

Un cas très simple est celui du groupe cyclique à $n$ éléments, que l'on peut présenter sous la forme $C_n = \langle a \mid a^n = 1 \rangle$ (un générateur qui vérifie "uniquement" la relation $a^n=1$). A quelle condition sur le groupe $G$ existe-t-il un morphisme de groupes $f : C_n \to G$ ? Puisque $a$ engendre $C_n$, il suffit de prescrire $f(a)$, mais il faut également respecter la condition $f(a)^n = f(a^n) = 1$.

farey

Merci @Poirot !! J'ai effectivement construit le morphisme en m'inspirant de ce que tu as décrit pour les groupes cycliques. Il suffisait de remarquer que (0. -1)² = (1. -1)² = 1 dans G et s² = (t.s)² = 1 dans < s,t >

Math Coss

D'un côté le groupe 1 est le groupe des bijections de la forme $z\mapsto bz+a$ avec $b=\pm1$ et $a\in\Z$. Facile de l'identifier avec le groupe 2 dans ces conditions.

D'autre part, le groupe 1 est un groupe diédral infini : il est engendré par deux réflexions (involutions du moins) $z\mapsto-z$ et $z\mapsto1-z$ (facile de retrouver les générateurs $s$ et $t$ à partir de là). Pour exhiber un morphisme vers le groupe 2, il suffit de trouver deux éléments $s$ et $s'$ tels que $s^2={s'}^2=\mathrm{id}$ : ce sont, sans surprise (ou alors je me plante dans les grandes largeurs) $(0,-1)$ et $(1,-1)$.

Après, on pourrait parler produit semi-direct, tout ça...