Simulation d'intégrale de v.a.

Darksasukee

Bonjour,
dans un projet que je dois faire, je bloque sur quelque chose. J'aurais donc besoin d'aide s'il vous plaît.
Soit $S_{t}$ le prix d'un actif financier tel que :
$S_{t}=S_{T_{0}} \exp \left(\sigma W_{t}-\frac{\sigma^{2}}{2} t+r t\right)$

On sait qu'on peut calculer cette intégrale :
$A_{S}\left(0, T\right)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} S_{u} d u$ en utilisant les sommes de Rienman. Ainsi on approche $A_{S}\left(0, T\right)$ à l'aide de 

$\mathbf{Y}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{r}, \mathbf{n}}=\mathbf{h} \sum_{\mathbf{k}=\mathbf{0}}^{\mathbf{n}-1} \mathbf{S}_{\mathbf{t}_{\mathrm{k}}}$ qu'on appellera (2).

À l'aide d'un dvlpmt de Taylor, on peut approcher $A_{S}\left(0, T\right)$ plus précisément. On l'approche ainsi grâce à
 $\mathbf{Y}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{p}, \mathbf{n}}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}} \sum_{\mathbf{k}=\mathbf{0}}^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{S}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}\left(\mathbf{h}+\frac{\mathbf{r h}^{2}}{\mathbf{2}}+\sigma \int_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}^{\mathbf{t}_{\mathbf{k}+\mathbf{1}}}\left(\mathbf{W}_{\mathbf{u}}-\mathbf{W}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}\right) \mathbf{d u}\right)$ avec $W_{t}$ un mouvement brownien donc il suit une $N(0,t)$.

Je me suis dit que pour approcher l'intégrale $\int_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}^{\mathbf{t}_{\mathbf{k}+\mathbf{1}}}\left(\mathbf{W}_{\mathbf{u}}-\mathbf{W}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}\right) \mathbf{d u}$ on dit déjà qu'elle est égale à $\int_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}^{\mathbf{t}_{\mathbf{k}+\mathbf{1}}}\mathbf{W}_{\mathbf{u}} \mathbf{d u}-({\mathbf{t}_{\mathbf{k+1}}}-{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}})\mathbf{W}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}$ et qu'on peut utiliser la méthode de (2), c'est à dire les sommes de Rienman, pour approcher l'intégrale restante.

Cependant le document qui me présente la méthode me dit: "Remarque 2.2. en pratique, pour simuler ce schéma, nous devons, à chaque temps, simuler $W_{t_{k+1}}$ sachant $W_{t_{k}}$ et $\left(\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} W_{u} d u \mid W_{t_{k}}, W_{t_{k+1}}\right)$. Pour la deuxième v.a, on utilise la loi (2) et pour la première le fait que $\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_{k}}, k=\right.$ $0, \ldots, N-1)$ sont des variables Gaussiennes i.i.d."

Je ne comprends pas du tout cette remarque 2.2. Pour parle t-elle de $W_{t_{k+1}}$ sachant $W_{t_{k}}$ et de la loi du couple $\left(\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} W_{u} d u \mid W_{t_{k}}, W_{t_{k+1}}\right)$ ??

Voici le lien de l'article si ça peut aider, il faut télécharger le document, c'est la page 5 remarque 2.2 : https://www.researchgate.net/publication/2317162_Competitive_Monte_Carlo_methods_for_the_Pricing_of_Asian_Options

Merci d'avance pour votre d'aide.